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1、二次函数与幂函数1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本节复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命题,应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1二次函数的基本知识(1)函数f(x)ax2bxc(a0)叫做二次函数,它的定义域是R.(2)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x,顶点坐标是.当a0时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当x时,f(x)min;当a0时,抛物线开口向下,函数在上递增,在
2、上递减,当x时,f(x)max.二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时,图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2|x1x2|.(3)二次函数的解析式的三种形式:一般式:f(x)ax2bxc(a0);顶点式:f(x)a(xm)2h(a0);两根式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2幂函数(1)幂函数的定义形如yx (R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数(2)幂函数的图象(3) 幂函数的性质第一象限一定有图像且过点(1,1);第四象限一定无图像;当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限,奇函数时图像分布第一三象限;第一象限图像的变化趋势;当a0时,
3、递增,其中a1时,递增速度越来越快,0a1时,递增速度越来越慢。yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0,)x|xR且x0值域R 0,)R0,)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0,)时,增,x(,0时,减增增x(0,)时,减,x(,0)时,减定点(0,0),(1,1)(1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之间的相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题,高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中两种方法二次函数yf(x)对称轴的判断方法:(1)对于二次函数yf(x
4、)对定义域内x1,x2,都有f(x1)f(x2),那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x;(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x,都有f(ax)f(ax)成立,那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题:(1)ax2bxc0,a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0,a0恒成立的充要条件是双基自测1下列函数中是幂函数的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy2(2011九江模拟)已知函数f(x)4x2mx5在区间2,)上是增函数,则f(1)的范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)253(2011福建)若关于x的
5、方程x2mx10,有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(,2)(2,) D(,1)(1,)4 (2011陕西)函数 的图象是()5 二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有两个实根x1,x2,则x1x2_.考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3),且f(1x)f(1x)对任意实数都成立,函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1,f(1)1,且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式考向二幂函数的图象和性质【例2】
6、幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称,且当x0时,函数是减函数,则m的值为()A1m3 B0C1 D2【训练2】 已知点(,2)在幂函数yf(x)的图象上,点在幂函数yg(x)的图象上,若f(x)g(x),则x_.考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)x22ax1,求f(x)在区间0,2上的最值【训练3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab),m,n是f(x)的零点,且mn,则a,b,m,n从小到大的顺序是_双基自测1(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy解析A,C,D均不符合幂函数的定义答案B2(2011九江模拟)已知函数f
7、(x)4x2mx5在区间2,)上是增函数,则f(1)的范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析对称轴x2,m16,f(1)9m25.答案A3(2011福建)若关于x的方程x2mx10,有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(,2)(2,) D(,1)(1,)解析依题意判别式m240,解得m2或m2.答案C4(2011陕西)函数 的图象是()解析由幂函数的性质知:图象过(1,1)点,可排除A,D;当指数01时为增速较缓的增函数,故可排除C.答案B5二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有两个实根x1,x
8、2,则x1x2_.解析由f(3x)f(3x),知函数yf(x)的图象关于直线x3对称,应有3x1x26.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3),且f(1x)f(1x)对任意实数都成立,函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式审题视点 采用待定系数法求f(x),再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称,求g(x)解依题意得解得:f(x)x22x.设函数yf(x)图象上的任意一点A(x0,y0),该点关于原点的对称点为B(x,y),则x0x,y0y.点A(x0,y0)在函数yf(x)的图象上,y0x2x0,yx22x,y
9、x22x,即g(x)x22x. 二次函数解析式的确定,应视具体问题,灵活地选用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解在具体问题中,常常会与图象的平移、对称,函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1,f(1)1,且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式解法一利用二次函数的一般式设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解之得所求二次函数的解析式为y4x24x7.法二利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n(a0),f(2)f(1)此二次函数的对称轴为x.m,又根据题意,函数有最大值8,即n8.yf(x)a28,f(2)1,a
10、281,解之得a4.f(x)4284x24x7.考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称,且当x0时,函数是减函数,则m的值为()A1m3 B0C1 D2审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30,再结合m是整数,及幂函数是偶函数可得m的值解析由m22m30,得1m3,又mZ,m0,1,2.m22m3为偶数,经验证m1符合题意答案C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围,当0时,幂函数在(0,)上为增函数,当0时,幂函数在(0,)上为减函数,然后验证函数的奇偶性【训练2】 已知点(,2)在幂函数yf(x)的图象上,点在幂函数yg(x)的图象上,若f
11、(x)g(x),则x_.解析由题意,设yf(x)x,则2(),得2,设yg(x)x,则(),得2,由f(x)g(x),即x2x2,解得x1.答案1考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)x22ax1,求f(x)在区间0,2上的最值审题视点 先确定对称轴,再将对称轴分四种情况讨论解函数f(x)x22ax1(xa)21a2的对称轴是直线xa,(1)若a0,f(x)在区间0,2上单调递增,当x0时,f(x)minf(0)1;当x2时,f(x)maxf(2)54a;(2)若0a1,则当xa时,f(x)minf(a)1a2;当x2时,f(x)maxf(2)54a;(3)若1a2,则当xa时,f
12、(x)minf(a)1a2;当x0时,f(x)maxf(0)1;(4)若a2,则f(x)在区间0,2上单调递减,当x0时,f(x)maxf(0)1;当x2时,f(x)minf(2)54a. 解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为ya(xm)2n(a0)的形式,得顶点(m,n)或对称轴方程xm,分三个类型:顶点固定,区间固定;顶点含参数,区间固定;顶点固定,区间变动【训练3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab),m,n是f(x)的零点,且mn,则a,b,m,n从小到大的顺序是_解析由于f(x)1(xa)(xb)(ab)的图象是开口向下的抛物线,因为f(a)f(b)10,f(m)f(n)0,可得a(m,n),b(m,n),所以mabn.答案mabn考向四有关二次函数的综合问题【例4】设函数f(x)ax22x2,对于满足1x4的一切x值都有f(x)0,求实数a的取值范围审题视点 通过讨论开口方向和对称轴位置求解解当a0时,f(x)a2.