矩量法 of Momentppt课件

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1、 第二章矩量法 MethodofMoment 2 1引言2 2矩量法的一般过程2 3选配和离散过程2 3 1点选配2 3 2脉冲分域基2 3 3三角形函数分域基2 4算子研究2 4 1近似算子2 4 2扩展算子2 4 3微扰算子 矩量法 简称MoM 就其数值分析而言就是广义Galerkin 伽略金 法 矩量法包括两个过程 离散化过程和选配过程 从而把线性算子方程转化为矩阵方程 这里先举一个简单的例子 例1 无限薄导体圆盘上的电荷分布问题 试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘 在中心线距离d处有一点电荷 如图5 17 1所示 求解导体圆盘上的电荷分布 解 假设导体圆盘上电荷密度为 根据电磁学的基本

2、概念可知 1 由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位 e和导体圆盘本身感应电荷密度 所产生的电位 i之和U在盘上处处相等 即保证导体圆盘是等位面 2 由于本问题中是感应电荷 因此总电荷Qi 0 其中 图5 17 1导体圆盘上的电荷分布 5 17 1 5 17 2 5 17 3 于是 问题可写为 5 17 4 式中r 其中打撇的表示源点 不打撇的表示场点 这个问题 采用电磁学经典解析方法不能很好的解决 因为未知量处于积分内部 是一个典型的积分方程 为此 把圆盘分割成两部分 中心小圆和外部环带 如图5 17 1所示 并假定每一部分内的电荷密度 i 1 2 近似为常数 于是 5 17 5 式中 5 17

3、 6 称为脉冲函数 这时问题方程 5 17 4 成为 5 17 7 5 17 8 把问题方程 5 17 4 近似的转化为式 5 17 7 和式 5 17 8 的过程称为离散化过程 但是 必须注意到方程 5 17 7 中 场点r表示圆盘上的任意点 x y 换句话它们是不定的 因而式 5 17 7 中包含着无限个方程 另一方面 离散后的方程组 5 17 7 和方程组 5 17 8 内只有三个未知数 和 于是方程组超定 为了把超定方程组转化为唯一解的方程组 可以采用很多办法 矩量法中 习惯用选配过程解决这个问题 简单说来 即在每个离散的单元上只选取一个场点作为代表来建立方程 例如 在 例1 中对于离

4、散的和分别取和两点做试验点 如图5 17 2所示 具体写出方程组 5 17 9 其中 图5 17 2圆盘上的试验点 其中表示面元电荷在处产生场的自作用单元 表示面元电荷在处产生场的自作用单元 表示面元电荷在处产生场的互作用单元 表示面元电荷在处产生场的互作用单元 又有 5 17 14 经过离散化过程和选配过程 将积分方程组 近似地 转化为矩阵方程 5 17 15 由此得出电荷分布的解为 5 17 16 图5 17 3矩量法的一般过程图5 17 3所示的矩量法求解问题的一般过程 讨论 1 矩量法的原问题并不限于积分方程 也可以是微分方程或其他方程 但必须能抽象成算子方程 从这一点而言 它是普遍的

5、 另一方面 矩量法最终要转化为矩阵方程加以解决 因此 原问题必须属于线性算子范畴 例如 最速下降线所构成的积分方程不是线性泛函 所以无法采用矩量法 2 电磁理论中计算的矩阵单元 一般均表示某个源在一个区域所产生的场 而实际产生的场往往都随着源的距离增加而减少 换句话说 矩量法中矩阵一般是对角占优的 自作用单元比互作用单元所起的作用要大 这一点在概念上十分重要 矩量法的研究对象是一般非齐次方程 5 17 17 线性算子的运算空间称为定义域 而组成的空间称为值域 式 5 17 17 中是已知的激励函数 为未知函数 令在的定义域内展开成的组合 有 5 17 18 2 2矩量法的一般过程 其中 表示矩

6、阵转置 应该注意到 展开函数与基函数是有区别的 一般来说 基函数是一无限展开 从完备基转化为近似有限截断基已经构成误差了 再从有限截断基转化为有限展开函数就很难保证能收敛于 这也是矩量法的研究中需要深入研究的一个问题 这里且写出 5 17 19 而 从算子方程 5 17 17 到式 5 17 19 即构成离散化过程 它可以是函数离散 也可以是区域离散 或两者兼有 现在规定适当的内积 在算子L的值域内定义一类权函数 或检验函数 作用于式 5 17 19 两边 且取内积 有 5 17 20 这就是所谓的选配过程或试验过程 矩量法的名称也由此而来 即把激励矢量和分别向权空间投影 取它的矩 根据矩的大

7、小确定展开系数 如果展开函数的数目与权函数数目相等 则可把式 5 17 20 写成矩阵形式 5 17 21 其中 5 17 22 于是可以解出 5 17 23 若规定函数矩阵 5 17 24 于是待求的函数为 5 17 25 矩量法的一般过程的数学表示如图5 17 4所示 十分清楚 矩量法的结果优劣取决于 离散化程度 和的选取 线性方程组的求解 在 的特殊情况下 可称为Galerkin 伽略金 法 于是矩量法也称为广义Galerkin法 图5 17 4矩量法一般过程的数学表示 例2 研究 其中 解 已经知道 此问题存在精确解本例采用矩量法求解 选择再选择权函数 即采用Galerkin法 内积定

8、义为于是可给出一般计算结果 归纳起来有 情况1 N 1 于是有 情况2 N 2 情况3 N 3 十分明显 N 3时已得到了精确解 矩量解的曲线如图5 17 5所示 图5 17 5u x 矩量解 第二章矩量法 MethodofMoment 2 3选配和离散过程2 3 1点选配2 3 2脉冲分域基2 3 3三角形函数分域基2 4算子研究2 4 1近似算子2 4 2扩展算子2 4 3微扰算子 2 3选配和离散过程从上面的典型例子可知 矩量法的精华在于选配和离散过程 值得单独进行研究 2 3 1点选配点选配是一种最简单而最典型的选配函数 因为矩阵单元为 一般说来 其中所含的积分计算十分困难 这种情况下

9、 最简单的办法是做某些点的投影 即所谓的点选配 实际上相当于把权函数取为函数 例3 任研究 解 设 在这个例子中取函数为权函数即其中 是这个问题的选配点 于是有 例3 任研究 解 设 可得到在这个例子中取函数为权函数即其中 是这个问题的选配点 于是有 归结起来 可写出 情况1 N 1 情况2 N 2 情况3 N 3 可以得出 对于点选配情况N 3 又一次回复到精确解 讨论 1 对于点选配的情况 N 1阶矩阵中的N阶主子阵并不等于在N时的系数矩阵 和Galerkin情况不同 因此当N逐渐变大时计算量无法节约 2 点选配虽然看起来非常简单 然而其内在的道理极其深刻 这一点可以从数值积分看出 研究表

10、明任何数值积分方法 不论矩形 梯形 二次样条等 说到底都是选择积分区域的点和区域点所对应的系数 由此产生Gauss积分的思想 所以在矩量法中 研究最佳点选配将是一个十分有意义的课题 2 3 2脉冲分域基矩量法在离散化过程中用展开函数取代基函数 带来了方便和自由 但是 随之而来的如何确保解的收敛性的问题却值得人们重视 在尚未了解u x 函数性态的条件下 采用有限个展开函数 ui x i 1 2 N时要确保解收敛显然在理论上存在不少困难 采用分域基函数可以说是比较稳妥的一种解决方案 因为大多数良态函数 不做高速振荡 均可以采用有限段直线或样条加以逼近 如图5 17 6所示 图5 17 6分域基函数

11、近似 下面从最简单的脉冲函数着手展开讨论 一般的脉冲函数可以表述为 5 17 26 式 5 17 26 表示以 i为中点 密度为1 N 1 的脉冲函数 在实际情况下 密度可以根据问题灵活改变 如图5 17 7所示 图5 17 7脉冲函数图5 17 8三角形函数 2 3 3三角形函数分域基三角形函数也是常用的一种分域基 如图5 17 8所示 若采用三角形函数展开未知函数 x 则有 5 17 27 所得的解的合成相当于折线连接 分段三角形函数所得的折线包络如图5 17 9所示 为了研究具体例子 这里先给出三角形函数的导数概念 引入如图5 17 10所示的阶梯函数H x xi 其定义为 图5 17

12、9分段三角形函数所得的折线包络 图5 17 10H x xi 函数 5 17 28 再引入大家熟悉的Dirac 函数 也即脉冲函数 其定义为 5 17 29 如图5 17 11所示 图5 17 11 x xi 函数 Dirac 函数有两个重要的性质 1 归一性 5 17 30 2 选择性 5 17 31 这里不加证明的给出Dirac 函数和阶梯函数之间的重要关系 5 17 32 有了以上基础就可以把三角形函数的导数用阶梯函数H表示 具体为 5 17 33 图5 17 12给出形象的几何表示 图5 17 12三角形函数导数的几何表示 例4 重新研究Harrington 哈林登 问题 L u g

13、其中L g 边界条件为u 0 u 1 0 试用以三角函数作为展开函数 脉冲函数作为权函数的矩量法求解 解 根据要求可写出于是有上式已计及选择权函数于是矩阵单元上式要分三种情况讨论 此外 激励单元为结果可归纳为 情况1 N 1考虑到对比 则有和的对比如图5 17 13所示 图5 17 13和 情况2 N 2l g 容易得到同样对比有和的对比图如图5 17 14所示 图5 17 14和 情况3 N 3于是有同样对比有和的对比图如图5 17 15所示 图5 17 15和 讨论 分域基在N不大的情况下与精确解的差距是明显的 但是它的相应矩阵是三条带矩阵 可较明显地缩小计算量 因此选择N不大的分域基并进

14、行顶点拟合将会是一个比较好的方案 2 4算子研究算子方程是矩量法建模的关键 它应该有两个方面的要求 一方面算子方程必须符合物理 或工程 问题的主要本质 另一方面它又必须适合数值计算 这两个方面构成了算子研究的基础 2 4 1近似算子细心的读者一定会提出这样一个问题 即 例4 中为什么不采用脉冲函数作为分域基展开 其实原因十分简单 因为脉冲函数的二阶导数表示有很大困难 但是 倘若引进近似算子的概念 则可以较好地解决这个问题 算子近似含义相当广泛 作为例子 可采用有限差分代替微分 例5 研究的Harrington问题 即 试采用差分近似算子 脉冲展开点选配的矩量法求解 做一般了解 解 为确保的边界

15、条件 在两端各留出半段为强制零段 因此当选择N个脉冲函数时 全部区域 0 1 应分成 N 1 段 即于是有 且做点选配有 这样可以获得矩阵单元的表示式 可以归纳为 情况1 N 1 8 于是得到对比这里的和的对比如图5 17 16所示表面看来 与图5 17 13类似 实际上脉冲函数和三角函数意义有很大不同 又注意到图5 17 16中和各强制置零半段 图5 17 16和 情况2 于是有对比和如图5 17 17所示 图5 17 17和 情况3 于是有作为对比有和的对比如图5 17 18所示 图5 17 18和 2 4 2扩展算子算子包括定义域和运算域 如同数学上经常所做的那样 可以采用扩展算子来增加

16、展开函数或权函数选择的自由度 原算子和扩展算子的逻辑关系如图5 17 19所示 很明显 扩展算子不改变原算子的运算 图5 17 19原算子和扩展算子的逻辑关系 例6 希望Harrington问题采用脉冲函数作为展开函数的并引入扩展算子概念 做一般了解 解 从上面论述中已知在原来的定义域中不存在 但深入研究矩量法后发现 矩量法并不要求有定义 而只要内积有定义即可 5 17 36 于是可以放松要求为 所选择的权函数 满足定义域 即 5 17 37 则可引入扩展算子 5 17 38 从而避免问题 于是设 则可知矩阵单元为 以及激励单元 归纳起来是它和三角函数展开脉冲函数检验所得到的公式差距极其细微 当N增大时 彼此相当接近 情况1 这种情况与完全吻合 情况2 容易得到同样对比有完全吻合 情况3 N 3于是有对比也完全吻合 三种情况顶点解均完全吻合 内在原因值得研究 另一种扩展算子的思想是设法扩展算子L的定义域 例如在Harrington问题的研究中可以选择不满足边界条件u 0 u 1 0的展开函数体系 例7 采用扩展算子L定义域的思想求解Harrington问题 做一般了解 解 定义扩展算子