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1、2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案 Tapy-in by sgp991106 1 选择题（57=35）1. 对正整数n，记n！=12.n,则1!+2!+3!+.+10!的末位数是( )A0 B1 C3 D5【分析】时，！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3.本题选C2. 已知关于x的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是( ) 【分析】，则5个整数解是注意到时，只有4个整数解所以，本题选C3. 已知关于x的方程恰好有一个实根，则实数a的值有( )个A1 B2 C3 D4【分析】，下面先考虑增根：）令，则，当时，（舍）；）令，则，当时
2、，（舍）；再考虑等根：）对，当.故，共3个.本题选C4. 如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A3 B4 C5 D6【分析】设底边上的高为，则，本题选D5. 在分别标有号码2,3,4,.,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( ) 【分析】 本题选B二填空题（57=35）6. 设，b是a2的小数部分，则的值为 【分析】考虑到，则则7. 一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概
3、率是 【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有，而总次数是次，则其概率为.8. 已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为 【分析】先消去c，再配方估算观察易知上式中，故，经试算，时，均不是整数；当时，于是有，故9. 实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的
4、两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为 【分析】由根与系数关系知，然后可得（a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则令，则，又，即，即他至少卖了207支圆珠笔三解答题（420=80）11如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC
5、=3OA直线与y轴交于点D，求DBC-CBE【分析】易知，作EFCO于F，连CE，易知OBC、CEF都是等腰直角三角形，则CBE是直角三角形分别在RtOBD、RtBCE中运用正切定义，即有，则从而可得DBC-CBE=4512如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点(不是端点)，满足CDAB，DECO，E为垂足，若CE=10，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长【分析】设圆O半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，又由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC、BC用相似或三角函数，易知，而令，/即，显然有，则，即，为正整数，故，又也为正整数，经逐一试算，仅当这一组是正整数
6、，故.13设a、b、c是素数，记，当时，a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论【分析】a、b、c是素数，则为整数，则，为正整数化简整理后，有),不能围成三角形;)综上所述，以a、b、c不能围成三角形14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) 求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，an中都至少有一个为m的“魔术数”【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，an互不相等，不妨设，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设，（），至少有一个为m的“魔术数”因为（k是m的位数)，是7的倍数，当时，而除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当时，而除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当时，依抽屉原理，与m二者余数的和至少有一个是7，此时被7整除，即n=7以上非官方解答，错误之处，还请多多指教。
