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1、1 第二章 2 2 3 向量数乘运算及其几何意义 学习目标 掌握向量数乘的定义 理解向量数乘的几何意义 学习重点 掌握向量数乘 向量数乘运算律 向量的线性运算 向量数乘的几何意义 由数乘向量的定义可以看 出 它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压 缩 当1时 表示的有向线段在原方向0或反方向0上伸长为原来的倍 当1时 表示的有向线段在原方向0或反方向0上缩短为原来的倍 基础知识 问题提出 1 如何求作两个非零向量的和向量 差向量 2 相同的几个数相加可以转化为数乘运算 如3 3 3 3 3 5 3 15 类似地 相等的几个向量相加是 否也能转化为数乘运算呢 现在我们就探究这个问题 探究
2、一 向量的数乘运算及其几何意义 思考 1 已知非零向量a 如何求作向量a a a 和 a a a 思考 2 向量 3a和 3a与向量a的大小和方向有什么关系 定义 一般地 我们规定 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a 其长 度与方向规定如下 1 2 探究二 向量的数乘运算性质 数乘向量的运算律 设 为实数 则 1 2 3 特别地 向量平行的充要条件 请同学们观察amn ru rr 22bmn ru rr 回答a r b r 有何关系 生 引导 若a r b r 是平行向量 能否得出b a rr 为什么 可得出a b rr 吗 为什么 生 2 例题讲解 例 1 计算
3、能力要求之一 向量的线性运算 1 3 a b 2 a 2b 2 2 2a 6b 3c 3 3a 4b 2 c 注 1 它们的结果都是向量 2 它们的运算法则与多项式运算相似 例 2 如图 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点 M 且ABa uuu rr ADb uuu rr 你能用a r b r 表示AM uuuu r BM uuu u r CM uuuu r DM uuuu r 吗 例 3 如图 在 ABC中 已知M N分别是AB AC的中点 用向量方法证明 1 2 MNBC 达标检测 1 已知实数m n和向量a b 有下列说法 m a b m a m b m n a m a na 若m
4、a m b 则a b 若m a na a 0 则m n 其中 正确的说法是 A B C D 2 设a是任一向量 e是单位向量 且a e 则下列表达式中正确的是 A e a a B a a e C a a e D a a e 11 3 2a 3b 6a 9a 6b 23 rrrrr 题 2 N M C B A 3 3 8 7 acacc rrrrr 92 2 abcbc rrrrr 2aaba rrrr 1 1 2 8 42 3 2 abab rrrv 4 在ABC中 E F分别是AB AC的中点 若ABa u uu rr ACb uuu rr 则EF uuu r 等于 A 1 2 ab rr
5、B 1 2 ab rr C 1 2 ba rr D 1 2 ab rr 5 点 C在线段 AB上 且 3 5 ACAB u uu ruu u r 则 ACCB uuu ruu u r 6 设 12 e e u r u u r 是两个不共线向量 若 12 bee ru ru u r 与 12 2aee ru ru u r 共线 则实数的值为 7 设两非零向量12 e e rr 不共线 且1212 k eeeke rrrr 则实数k 的值为 8 ABC中 1 3 ADAB uuu ruuu r DEBC 且与边AC相交于点 E ABC的中线AM与DE相交于点N 设ABa uuu rr ACb uuu rr 用a r b r 分别表示向量 AE CB DE CE DN NA uuu r uuu r uuu r uuu r uu ur uuu r 9 若8 5ABAC uuu ruuu r 则BC uuu r 的取值范围是 A 3 8 B 3 8 C 3 13 D 3 13 10 计算 1 6 3292abab 2 6422abcabcac 3 127 137 32 236 276 abababa 问题与收获
