信号与系统课件-第12章 系统的状态变量分析

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1、 12 1引言 一 输入 输出法 端口法 研究单输入 单输出系统 着眼于系统的外部特性 基本模型为系统函数 着重运用频率响应特性的概念 二 状态变量分析法产生于20世纪50至60年代 卡尔曼 R E Kalman 引入 利用状态变量描述系统的内部特性 运用于多输入 多输出系统 用n个状态变量的一阶微分 或差分 方程组来描述系统 三 状态变量分析法优点 提供了系统的内部特性以供研究 一阶微分 或差分 方程组便于计算机进行数值计算 便于分析多输入 多输出系统 容易推广应用于时变系统或非线性系统 引出了可观测性和可控制性两个重要概念 四 名词定义 状态 表示动态系统的一组最少变量 被称为状态变量 只

2、要知道t t0时这组变量和t t0时的输入 那么就能完全确定系统在任何时间t t0的行为 状态变量 能够表示系统状态的那些变量成为状态变量 例如上例中的iL t vC t 状态矢量 能够完全描述一个系统行为的k个状态变量 可以看作矢量 t 的各个分量的坐标 t 称为状态矢量 状态空间 状态矢量 t 所在的空间 状态轨迹 在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹 例12 1 1 e t L R C vC t 微分方程 输入 输出描述法 输出 vC t 输入 e t 2 t0et 2 0vC dt2vC d2 t 2 dv t dtC LC R 1 0 2L 其中 以vC t i

3、L t 为变量列方程 C LL dt Ri t Ldi t v t e t t L C C i t dt v t 1 CL dtC dv t 1i t i t C v t LLL L C C LL 1 dt d dt di t Ri t 1v t 1e t 写为 i t LL L C L v t C v t L et 0 1 0 C 1 R 1 dt d dt di t 写为矩阵形式 只要知道iL t vC t 的初始状态及输入e t 即可完全确定电路的全部行为 输出方程 t v r t 0 C 1 iL t 此方法称为状态变量或状态空间分析法 iL t vC t 为状态变量 C L 设i 0

4、 0 v 0 0 L C LC v L E i 0 0 0 0 C L t E1 e1 t te t 1 t t e t Eu t R 2则 t iL t O1 0 Lmax I O t E v t C v t C i t L ILmax 1 0 t t0 E t 0 12 2信号流图 概述系统的信号流图表示法术语定义信号流图的性质信号流图的代数运算 一 概述 利用方框图可以描述系统 连续的或离散的 比用微分方程或差分方程更为直观 线性系统的仿真 模拟 连续系统 相加 倍乘 积分离散系统 相加 倍乘 延时系统框图简化信号流图由美国麻省理工学院的梅森 Mason 于20世纪50年代首先提出 应用

5、于 反馈系统分析 线性方程组求解 线性系统模拟及数字滤波器设计等方面 信号流图方法的主要优点 系统模型的表示简明清楚 简化系统函数的计算方程 二 系统的信号流图表示法 H s X s Y s H s X s Y s 实际上是用一些点和支路来描述系统 方框图 流图 X s Y s 称为结点 线段表示信号传输的路径 称为支路 信号的传输方向用箭头表示 转移函数标在箭头附近 相当于乘法器 三 术语定义 结点 表示系统中变量或信号的点 转移函数 两个结点之间的增益称为转移函数 支路 连接两个结点之间的定向线段 支路的增益即为转移函数 输入结点或源点 只有输出支路的结点 它对应的是自变量 即输入信号 输

6、出信号或阱点 只有输入支路的结点 它对应的是因变量 即输出信号 混合结点 既有输入支路又有输出支路的结点 通路 沿支路箭头方向通过各相连支路的途径 不允许有相反方向支路存在 开通路 通路与任一结点相交不多于一次 闭通路 如果通路的终点就是起点 并且与任何其他结点相交不多于一次 闭通路又称环路 环路增益 环路中各支路转移函数的乘积 不接触环路 两环路之间没有任何公共结点 前向通路 从输入结点 源点 到输出结点 阱点 方向的通路上 通过任何结点不多于一次的全部路径 前向通路增益 前向通路中 各支路转移函数的乘积 四 信号流图的性质 H s X s Y s 1 支路表示了一个信号与另一信号的函数关系

7、 信号只能沿着支路上的箭头方向通过 X s H s Y s Y s H s X s 2 结点可以把所有输入支路的信号叠加 并把总和信号传送到所有输出支路 X1 X2 X3 X5 X6 14 H X4 H34 H 24 H46 H45 4 例如结点X 3 具有输入和输出支路的混合结点 通过增加一个具有单传输的支路 可以把它变成输出结点来处理 X4 aX2 b X1 d c X3 X3 1 X3 和X3 实际上是一个结点 分成两个结点以后 是既有输入又有输出的混合结点X3 是只有输入的输出结点 给定系统 信号流图形式并不是惟一的 这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式 因而可以画出不同的流图 流

8、图转置以后 其转移函数保持不变 所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向调转 同时把输入输出结点对换 五 信号流图的代数运算 1 有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益 1 x a 2 x x2 ax1 x1 a x2 x3x1 x3 bab 2 串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积 3 并联支路的合并 并联相加 x1 a b 4 混合结点的消除 x2 x1 a bx3 x1 2 x x3 x4 x1 2 x x4 ac bc a b c 5 环路的消除 32 x2 ax1 cx3 因为 x bx 3 1 3 x abx bcx 1 3 x ab 1 bc x 总结 可以通过如下步

9、骤简化信号流图 从而求得系统函数 串联支路合并 减少结点 并联支路合并 减少支路 消除环路 ax2 b 1 x 3 x ab c 1 x x3 bc ab 1 bc 1 3 x x 6 信号流图的梅森增益公式 k kk H 1 g ab cd e f 式中 称为流图的特征行列式 1 所有不同环路增益之和 每两个互不接触环路增益乘积之和 每三个互不接触环路增益乘积之和 1 La LbLc LdLeLf k 称为对于第k条前向通路特征行列式的余因子 它是除去与k条前向通路相接触的环路外 余下的特征行列式 k 表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号 g k 表示由源点到阱点之间的第k条前向通路的增

10、益 X1 X4 H5 X3H3 X1H1X2H2 G1 G2 G3 Y 例12 2 1求下图信号流图表示的系统的系统函数 H4 为了求出特征行列式 先求出有关参数 图中的流图共有4个回路 各回路增益为 X1 X2 X1回路X2 X3 X2回路X3 X4 X3回路 L1 G1H1L2 G2H2L3 G3H3 X1 X4 X3 X2 X1回路L4 G1G2G3H4 3 11 ab c GGGH GGHH12341313 G2H2 G3H 1 GH 它只有一对两两互不接触的回路X1 X2 X1X3 X4 X3其回路增益乘积为L1L3 G1G3H1H3没有三个以上的互不接触回路 所以 1 La Lb

11、Lc Ld Le Lf ab cd e f 1 La Lb Lc g1 H1H2H3H5 例图中有两条前向通路 对于前向通路X X1 X2 X3 X4 Y g2 H4H5 由于各回路都与该通路相接触 故 1 1对于前向通路X X1 X4 Y a 所以 2 1 La 1 G2H2 X2 X3 X2 不与g2接触的回路有 其增益 其增益 g 得 按式H kkk 1 5 H1H2H3H Y X1 G1H1 G2H2 G3H3 G1G2G3H4 G1G3H1H3 HH 1 GH 4522 H 12 3连续时间系统状态方程的建立 状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由系统的输入 输出

12、方程或流图建立状态方程将系统函数分解建立状态方程 一 状态方程的一般形式和建立方法概述 一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述 作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组 即 e t 1 e t 2 e t m r1 t r2 t r t r m个输入信号r个输出信号 1 t 2 t k t 为系统的k个状态变量 状态方程 dt dt dt kk12k12m 2212k12m 1112k12m d t f t t t e t e t e t t d t f t t t e t e t e t t d t f t t t e t e t e t t 212k12m

13、 2 rr t hr 1 t 2 t k t e1 t e2 t em t t r t h t t t e t e t e t t 输出方程 r1 t h1 1 t 2 t k t e1 t e2 t em t t bk1e1 t bk2e2 t bkmem t kk11k22kkk b21e1 t b22e2 t b2mem t 2112222kk 2 b11e1 t b12e2 t b1mem t 11111221kk dt dt d dt d t a t a t a t t a t a t a t d t a t a t a t 如果系统是线性时不变的 则状态方程和输出方程是状态变量和输

14、入信号的线性组合 即 t de t rmm r de t de t t de t de t de t de t r22 r11 r22rkk r11 2222mm 1221mm c t c r t c r2 t c21 1 t c22 2 t c2k k t d21e1 t r1 t c11 1 t c12 2 t c1k k t d11e1 t 表示为矢量矩阵形式 k kk 1k mm 1 k 1 dt A e d t t B t r t r 1 Cr k k 1 t Dr mem 1 t 状态方程 输入方程 k t t t 2 1 t k dt d t d t dt d t dt d 2

15、1 t dt a k1k2kk 2k 22 21 a a a a a a11a12 a1k A b 21 ba b b11b12 b1k B c c11 c c c12 c1k 222k C 21222k 11121k dr1dr2 drk dd d D d21d22 d2k r t r t r bk1bk2 bkk r1 t r t 2 e t e t m 2 cr1cr2 crk e1 t e t 状态方程和输出方程分析的示意结构图 D t B t C t e t r t t p 1是积分环节 它的输入为 dt d t 输出为 t 若A B C D矩阵是t的函数 表明系统是线性时变的 对于

16、线性时不变系统 A B C D的各元素都为常数 不随t改变 状态变量的特性 每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数 每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数 输出信号是状态变量和输入信号的函数 通常选择动态元件的输出作为状态变量 在连续系统中是选积分器的输出 建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类 直接法 主要应用于电路分析 电网络 如滤波器 的计算机辅助设计 间接法 常见于控制系统研究 二 由电路图直接建立状态方程 注意只能将此项放在方程左边 选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量 有时也选电容电荷与电感磁链 对包含有电容的回路列写回路电压方程 其中必然 包括L Ldt di t 中必然包含C Cdt dv t 对连接有电容的结点列结点电流方程 其 把方程中非状态变量用状态变量表示 把状态方程和输出方程用矩阵形式表示 状态变量的个数k等于系统的阶数 对于较简单的电路 用直观的方法容易列写状态方程 当电路结构相对复杂时 往往要借助计算机辅助设计 CAD 技术 电容独立性的讨论 S V vC1 vC2 vC2 vC3 vC1 a b 将电压源Vs接到相