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1、第二节不定积分的换元积分法 一 第一类换元法 二 第二类换元法 三 基本积分表 问题 解决方法 利用复合函数 设置中间变量 过程 令 一 第一类换元法 在一般情况下 由此可得换元法定理 第一类换元公式 凑微分法 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同 所得结论不同 定理1 例1求 解 一 解 二 解 三 例2 1 求 解 例2 2 求 解 一般地 例3求 解 例4 1 求 解 例4 2 求 解 例5求 解 例6求 解 同理可得 使用了三角函数恒等变形 例7求 解 例8 1 求 解 例8 2 求 解 例8 3 求 解 例8 4 求 解 求 由例8可知 例9求 解 例10 1 求 2 求
2、 例10 1 求 解 2 求 解 例11 1 求 2 求 3 求 4 求 例11 1 求 解 例11 2 求 解 例11 3 求 解 4 求 解 例12求 原式 解 例13求 解 例14 1 求 解 例14 2 求 解 例15 1 求 解 例15 1 求 2 求 解 例15 1 求 2 求 解 3 求 例16求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 例17求 解 例18求 解 一 使用了三角函数恒等变形 解 二 类似地可推出 例19求 解 例20求 解 使用了三角函数恒等变形 例21 1 求 解 例21 2 求 解 例22求 解 例求 解 例求 解 问题 解决方法 改变中间
3、变量的设置方法 过程 令 应用 凑微分 即可求出结果 二 第二类换元法 证 设为的原函数 令 则 即有换元公式 定理2 第二类积分换元公式 例1求 解 令 例2求 解 令 例3求 解 令 例4求 解 令 例5求 解 令 再令 例6求 解 令 再令 说明 1 以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明 2 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 也可以化掉根式 例中 令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 或双曲代换 并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 说明 3 三角代换很繁琐 令 解 例8求 解 令 说明 4 当分母的阶较高时 可采用倒代换 令 解 例10求 解 令 分母的阶较高 例11求 解 令 三 基本积分表 四 小结 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换 倒代换 根式代换 基本积分表 2 第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量 第二类换元积分是把积分变量看做一个函数 思考题 求积分 思考题解答 练习题 练习题答案 感谢亲观看此幻灯片 此课件部分内容来源于网络 如有侵权请及时联系我们删除 谢谢配合
