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1、 1 北京市高考压轴卷文科数学 一 选择题 本大题共8小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 已知1 1 x yi i 其中 x y是实数 i是虚数单位 则xyi的共轭复数为 A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 2 已知函数 3 f xxx 123 x xxR 且 12 0 xx 23 0 xx 31 0 xx 则 123 f xf xf x的值为 A 正 B 负 C 零 D 可正可负 3 已知某几何体的三视图如下 则该几何体体积为 A 4 5 2 B 4 3 2 C 4 2 D 4 4 如图所示为函数 2sin 0 0 2
2、f xx的部分图像 其中A B两点之间的距 离为 5 那么 1 f A 1 B 3 C 3D 1 2 5 5 分 已知两条不重合的直线m n 和两个不重合的平面 有下列命题 若 m n m 则n 若 m n m n 则 若 m n 是两条异面直线 m n m n 则 若 m n n m 则n 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 6 设函数是定义在上的可导函数 其导函数为 且有 则不等式的解集为 A B C D 7 已知 A B两点均在焦点为F 的抛物线y 2 2px p 0 上 若 线段 AB的 中点到直线的距离为1 则 p 的值为 A 1B 1 或 3 C 2D 2 或 6 8
3、已知 f x x 3 6x2 9x abc a b c 且 f a f b f c 0 现给出如下结论 f 0 f 1 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是 A B C D 3 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 把答案填在答题卡的相应位置 9 已知集合 22 1 3 3 21 1AaaBaaa 若 3ABI 则实数 a的值 为 10 已知如图所示的流程图 未完成 设当箭头 a 指向 时输出的结果S m 当箭头 a 指向 时 输出的结果S n 求 m n 的值 11 若 n S是等差数列 n a的前n项和 且 83 20SS
4、 则 11 S的值为 12 某市有 400 家超市 其中大型超市有40 家 中型超市有120 家 小型超市有240 家 为 了掌握各超市的营业情况 要从中抽取一个容量为20 的样本 若采用分层抽样的方法 抽取 的中型超市数是 13 在平面直角坐标系xOy中 过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 的图象交于P Q两点 则线段 PQ长的最小值是 14 设 a R 若 x 0 时均有 a 1 x 1 x 2 ax 1 0 则 a 三 解答题 本大题共6小题 共80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答 写在答题卡上的指定区域内 15 已知向量 4 cos 4 cos 1 4 sin3
5、 2xx n x m 记 nmxf I 求 xf的周期 在ABC中 角 A B C的对边分别是a b c 且满足 2a c cosB bcosC 若 4 13 2 f A 试判断ABC的形状 16 某校要从2 名男同学和4 名女同学中选出2 人担任羽毛球比赛的志愿者工作 每名同学 当选的机会均相等 求当选的2 名同学中恰有l 名男同学的概率 求当选的2 名同学中至少有1 名女同学的概率 17 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 下底ABCD是边长为2 的正方形 上底A1B1C1D1是边长 为 1 的正方形 侧棱DD1 平面 ABCD DD1 2 1 求证 B1B 平面 D1AC 2 求
6、证 平面D1AC 平面 B1BDD1 18 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 FF 点 0 3 B为短轴的一个 端点 2 60OF B 求椭圆 C的方程 如图 过右焦点 2 F 且斜率为 0 k k的直线l与椭圆C相交于 E F两点 A为椭圆 的右顶点 直线 AE AF分别交直线3x于点 M N 线段MN的中点为 P 记直线 2 PF的 斜率为 k 求证 k k为定值 5 19 已知数列 n a的各项均为正数 记 12 n A naaaL 231 n B naaaL 342 1 2 n C naaanLL 若 12 1 5aa 且对任意n N 三个数 A
7、 nB n C n组成等差数列 求数列 n a 的通项公式 证明 数列 n a是公比为q的等比数列的充分必要条件是 对任意n N 三个数 A nB n C n组成公比为q的等比数列 20 已知函数xaxgln 2 2 ln axxxh Ra 令 xhxgxf 当0a时 求 xf的极值 当2a时 求 xf的单调区间 当23a时 若对 3 1 21 使得3ln2 3ln 21 amff恒成 立 求m的取值范围 6 2014 北京市高考压轴卷数学文word 版参考答案 1 答案 D 解析 1 1 2 1 12 x xxiyixy i 故选 D 2 答案 B 解析 3 f xxx 函数 f x在 R上
8、是减函数且是奇函数 12 0 xx 12 xx 12 f xfx 12 f xf x 12 0f xf x 同理 23 0f xf x 31 0f xfx 123 0f xf xf x 3 答案 A 解析 该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成 其中重叠了一部分 2 所以该几何体的 体积为 5 22 1 34 22 故选 A 4 答案 A 解析 5 答案 C 解析 若m n m 则n 可能在平面 内 故 错误 m m n n 又 n 故 正确 过直线m作平面 交平面 与直线 c m n是两条异面直线 设n c O 7 m m c m c m c c n c n c O c n 故 正确 由面面垂
9、直的性质定理 m n n m n 故 正确 故正确命题有三个 故选 C 6 答案 C 解析 由 得 即 令 则当时 即在是 减函数 在是减函数 所以由得 即 故选 7 答案 B 解析 分别过A B作交线 l x 的垂线 垂足分别为C D 设 AB中点 M在准线上的射影为点N 连接 MN 设 A x1 y1 B x2 y2 M x0 y0 根据抛物线的定义 得 梯形 ACDB中 中位线MN 2 可得 x0 2 x 线段 AB的中点 M到直线的距离为1 可得 x0 1 2 p 1 解之得p 1 或 3 故选 B 8 8 答案 C 解析 求导函数可得f x 3x 2 12x 9 3 x 1 x 3
10、a b c 且 f a f b f c 0 a 1 b 3 c 设 f x x a x b x c x 3 a b c x2 ab ac bc x abc f x x 3 6x2 9x abc a b c 6 ab ac bc 9 b c 6 a bc 9 a 6 a a 2 4a 0 0 a 4 0 a 1 b 3 c f 0 0 f 1 0 f 3 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 故选 C 9 9 答案 a 1 解析 若 a 3 3 则 a 0 此时 1 1 3 3 1 0 BA 3 1 BA 与题意不符 舍 若 2a 1 3 则 a 1 此时 2 4 3 3 1 0 BA 3
11、 BA a 1 若 a2 1 3 则 a 不存在 综上可知 a 1 10 答案 20 解析 当箭头指向 时 计算S和 i 如下 i 1 S 0 S 1 i 2 S 0 S 2 i 3 S 0 S 3 i 4 S 0 S 4 i 5 S 0 S 5 i 6 结束 S m 5 当箭头指向 时 计算S和 i 如下 i 1 S 0 S 1 i 2 S 3 i 3 S 6 i 4 S 10 i 5 S 15 i 6 结束 S n 15 m n 20 11 答案 44 解析 由 83456786 520SSaaaaaa 解得 6 4a 又由 6111 116 11 211 1144 22 aaa Sa 1
12、0 12 答案 6 解析 每个个体被抽到的概率等于 而中型超市有120 家 故抽取的中型超市数 是 120 6 13 答案 4 解析 设过坐标原点的一条直线方程为ykx 因为与函数 x xf 2 的图象交于P Q 两 点 所以0k 且联列解得 22 2 2PkQk kk 所以 2 2 21 22 284PQkk kk 14 答案 解析 1 a 1 时 代入题中不等式明显不成立 2 a 1 构造函数y1 a 1 x 1 y2 x 2 ax 1 它们都过定点P 0 1 考查函数y1 a 1 x 1 令 y 0 得 M 0 a 1 考查函数y2 x 2 ax 1 显然过点 M 0 代入得 解之得 a
13、 或 a 0 舍去 故答案为 15 解析 2311 3sincoscossincos 44422222 xxxxx f x 1 sin 262 x I 4T 根据正弦定理知 2coscos 2sinsin cossincosacBbCACBBC 1 2sincossin sincos 23 ABBCABB 13 2 fA 113 sin 2622263 AA 或 11 2 33 A或 而 2 0 3 A 所以 3 A 因此ABC为等边三角形 12 分 16 解析 I 所有的选法共有 15 种 当选的 2 名同学中恰有1 名男同学的选法有 8 种 当选的2 名同学中恰有1 名男同学的概率为 II
14、 所有的选法共有 15 种 当选的 2 名同学中恰有2 名女同学的选法有 6 种 当选的 2 名同学中恰有1 名女同学的选法有 8 种 故当选当选的2 名同学中至少有1 名女同学的选法有6 8 14 种 故当选的2 名同学中至少有1 名女同学的概率为 17 解析 证明 1 设 AC BD E 连接D1E 平面 ABCD 平面A1B1C1D1 B1D1 BE B1D1 BE 四边形B1D1EB是平行四边形 所以 B1B D1E 又因为 B1B 平面 D1AC D1E 平面 D1AC 所以 B1B 平面 D1AC 2 证明 侧棱DD1 平面 ABCD AC 平面 ABCD AC DD1 下底 AB
15、CD是正方形 AC BD DD1与 DB是平面 B1BDD1内的两条相交直线 AC 平面B1BDD1 AC 平面 D1AC 平面 D1AC 平面 B1BDD1 18 解析 由条件2 3ab 2 分 故所求椭圆方程为1 34 22 yx 4 分 12 设过点 2 1 0 F的直线l方程为 1 xky 5 分 由 22 1 1 43 yk x xy 可得 01248 34 2222 kxkxk 6 分 因为点 2 1 0 F在椭圆内 所以直线l和椭圆都相交 即0恒成立 设点 1122 E xyF xy 则 34 124 34 8 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 8 分 因为
16、直线 AE的方程为 2 2 1 1 x x y y 直线 AF的方程为 2 2 2 2 x x y y 9 分 令3x 可得 2 3 1 1 x y M 2 3 2 2 x y N 所以点P的坐标 12 12 1 3 222 yy xx 10 分 直线 2 PF的斜率为 12 12 1 0 222 31 yy xx k 12 12 1 422 yy xx 122112 1212 12 42 4 x yx yyy x xxx 1212 1212 23 41 42 4 kx xk xxk x xxx 12 分 22 22 22 22 4128 234 1 4343 41284 24 4343 kk kkk kk kk kk 3 4k 13 所以k k为定值 4 3 13 分 19 解析 因为对任意n N 三个数 A n B n C n是等差数列 所以 B nA nC nB n 1 分 所以 1122nn aaaa 2 分 即 2121 4 nn aaaa 3 分 所以数列 n a是首项为 公差为 的等差数列 4 分 所以1 1 443 n ann 5 分 充分性 若对于任意n N 三个数
