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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 复数等于（ ）A B C D2. 已知集合，下列结论成立的是（ ）A B C D3. 已知向量，则的充要条件是（ ）A B C D4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 5. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出值等于（ ）A B C0 D 7. 直线
2、与圆相交于两点，则弦的长度等于（ ）A B C D18. 函数的图像的一条对称轴是（ ）A B C D9. 设，则值为（ ）A1 B0 C D10. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B1 C D211. 数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）A1006 B2012 C503 D012. 已知，且，现给出如下结论：；。其中正确结论的序号是（ ）A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。13. 在中，已知，则_。14. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，
3、从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_。15. 已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_。16. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17
4、. （本小题满分12分） 在等差数列和等比数列中，的前10项和。（）求和；（）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。18. （本小题满分12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（I）求回归直线方程，其中（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）19. （本小题满分12分）如图，在长方体中，为棱上的一点。（I）求三棱锥的体积；（II）当取得最小值时，求证：平面。20. （本小题满分1
5、3分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。21. （本小题满分12分）如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。（I）求抛物线的方程；（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。22. （本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为。（I）求函数的解析式；（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明。2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文
6、史类）参考答案一选择题题号12345789101112答案ADDDCABCBBAC2 填空题13. 14.12 15.(0,8) 16.163 解答题17. 本小题主要考查等差数列、等比数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分。解：（I）设的公差为，的公比为。依题意得，解得所以 （II）分别从和的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：符合题意的基本事件有2个：故所求的概率18. 本小题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、特殊与一般思想。满分12分。解：（I）由于，所以，从而回归直线方
7、程为。 （II）设工厂获得的利润为L元，依题意得当且仅当时，L取得最大值。故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系和几何体的体积等基础知识。解： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理证明能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想。满分13分。解法一：（I）选择（2）式，计算如下：（II）三角恒等式为证明如下：=解法二：（I）同解法一。（II）三角恒等式为证明如下：=21. 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的
8、性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想满分12分解法一：（1） 依题意=，设B（x,y），则x=sin30。=，y=cos30。=12因为点B（，12）在x2=2py上，所以=2p*12，所以p=2所以抛物线E的方程为 (2)由（1）知,y=x. 设 P（x0,y0）,则x00，并且l的方程为，即由，得所以设,令对满足的，恒成立。由于，由于,得即（ （*）由于（*）对满足的恒成立，所以解得 故以PQ为直径的预案横过y轴上的定点M（0，1）解法二 （1） 同解法一（2） 由（1）知,y=x，设P（x0,y0），则
9、，且l的直线方程为，即由得，所以取=2，此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1，此时P（1，），Q（，-1），以PQ为直径的圆为，交y轴于（0,1）或，（0，）故若满足条件得点M存在，只能是（0,1）。以下证明点（0,1）就是所要求的点。因为，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M22. 本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分14分解：（1） 由已知得 对于任意 当； 不合题意； 解得， 综上所述，得 （2） 在内有且只有两个零点，证明如下： 由（1）知，从而有，； 所以内至少存在一个零点。 又由（1）知，故。 当时，令 由当时，故当时，故当时，即，又且，从而；综上所述，在内有且只有两个零点。
