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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第I卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 复数等于( )A B C D2. 已知集合,下列结论成立的是( )A B C D3. 已知向量,则的充要条件是( )A B C D4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是( )A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 5. 已知双曲线的右焦点为,则该双曲线的离心率等于( )A B C D6. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出值等于( )A B C0 D 7. 直线
2、与圆相交于两点,则弦的长度等于( )A B C D18. 函数的图像的一条对称轴是( )A B C D9. 设,则值为( )A1 B0 C D10. 若直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为( )A B1 C D211. 数列的通项公式,其前项和为,则等于( )A1006 B2012 C503 D012. 已知,且,现给出如下结论:;。其中正确结论的序号是( )A B C D第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。13. 在中,已知,则_。14. 一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法,
3、从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是_。15. 已知关于的不等式在R上恒成立,则实数的取值范围是_。16. 某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小。例如:在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的路线图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10。现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为_。 三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17
4、. (本小题满分12分) 在等差数列和等比数列中,的前10项和。()求和;()现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。18. (本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(I)求回归直线方程,其中(II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入成本)19. (本小题满分12分)如图,在长方体中,为棱上的一点。(I)求三棱锥的体积;(II)当取得最小值时,求证:平面。20. (本小题满分1
5、3分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。(1);(2);(3);(4);(5)。 (I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(II)根据()的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。21. (本小题满分12分)如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上。(I)求抛物线的方程;(II)设动直线与抛物线相切于点,与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。22. (本小题满分14分)已知函数且在上的最大值为。(I)求函数的解析式;(II)判断函数在内的零点个数,并加以证明。2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文
6、史类)参考答案一选择题题号12345789101112答案ADDDCABCBBAC2 填空题13. 14.12 15.(0,8) 16.163 解答题17. 本小题主要考查等差数列、等比数列、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分。解:(I)设的公差为,的公比为。依题意得,解得所以 (II)分别从和的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个:符合题意的基本事件有2个:故所求的概率18. 本小题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查化归与转化思想、特殊与一般思想。满分12分。解:(I)由于,所以,从而回归直线方
7、程为。 (II)设工厂获得的利润为L元,依题意得当且仅当时,L取得最大值。故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润。19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系和几何体的体积等基础知识。解: 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理证明能力,考查特殊与一般思想、化归与转化思想。满分13分。解法一:(I)选择(2)式,计算如下:(II)三角恒等式为证明如下:=解法二:(I)同解法一。(II)三角恒等式为证明如下:=21. 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的
8、性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想满分12分解法一:(1) 依题意=,设B(x,y),则x=sin30。=,y=cos30。=12因为点B(,12)在x2=2py上,所以=2p*12,所以p=2所以抛物线E的方程为 (2)由(1)知,y=x. 设 P(x0,y0),则x00,并且l的方程为,即由,得所以设,令对满足的,恒成立。由于,由于,得即( (*)由于(*)对满足的恒成立,所以解得 故以PQ为直径的预案横过y轴上的定点M(0,1)解法二 (1) 同解法一(2) 由(1)知,y=x,设P(x0,y0),则
9、,且l的直线方程为,即由得,所以取=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为,交y轴于点(0,1)或(0,-1);取=1,此时P(1,),Q(,-1),以PQ为直径的圆为,交y轴于(0,1)或,(0,)故若满足条件得点M存在,只能是(0,1)。以下证明点(0,1)就是所要求的点。因为,故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M22. 本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分14分解:(1) 由已知得 对于任意 当; 不合题意; 解得, 综上所述,得 (2) 在内有且只有两个零点,证明如下: 由(1)知,从而有,; 所以内至少存在一个零点。 又由(1)知,故。 当时,令 由当时,故当时,故当时,即,又且,从而;综上所述,在内有且只有两个零点。