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1、学习目标 1 探求曲边梯形的面积 2 了解定积分的实际背景 3 了解 以直代曲 及 逼 的思想方法 1 5曲边梯形的面积及汽车行驶的路程 创设问题 求由直线x 0 x 1 y 0及曲线y x2所围成的图形 曲边三角形 面积S是多少 方案1 方案2 方案3 思路 为了计算曲边三角形的面积S 将它分割成许多小曲边梯形 y f x 用一个矩形的面积A1似代替曲边梯形的面积A 得 用两个矩形的面积似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 A3 A4 用四个矩形的面积似代替曲边梯形的面积A 得 A A1 A2 An 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积 则有曲边梯形的面
2、积A似为 分割越细 面积的似值就越精确 当分割无限变细时 这个似值就无限逼所求曲边梯形的面积S 下面用第一种方案 以直代曲 的具体操作过程 1 分割 把区间 0 1 等分成n个小区间 过各区间端点作x轴的垂线 从而得到n个小曲边梯形 它们的面积分别记作 2 以直代曲 3 作和 4 逼 分割 以直代曲 作和 逼 以上计算曲边梯形面积用流程图表示为 其中最能体现微积分思想的是 以直代曲 当分点非常多 n非常大 时 可以认为f x 在小区间上几乎没有变化 或变化非常小 从而可以取小区间内任意一点对应的函数值f 作为小矩形一边的长 于是f x来似表示小曲边梯形的面积 表示了曲边梯形面积的似值 f f
3、x1 f x2 f 在 a b 中任意插入n 1个分点 得n个小区间 1 i 1 2 n 把曲边梯形分成n个细窄曲边梯形 任取 1 以f D似代替第i个窄曲边梯形的面积 区间 1 的长度D 1 曲边梯形的面积似为 A 例1 求由直线x 0 x 1 y 0和曲线y x x 1 围成的图形面积 分析 只要按照分割 似代替 求和 取极限四步完成即可 过各分点作x轴的垂线 把曲边梯形分成n个小曲边梯形 它们的面积分别记作 S1 S2 Si Sn 2 似代替用小矩形面积似代替小曲边梯形面积 3 求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的似值 所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的似值
4、 即 点评 1 分割的目的在于更精确地 以直代曲 上例中以 矩形 代替 曲边梯形 随着分割的等份数增多 这种 代替 就越精确 当n愈大时 所有小矩形的面积就愈逼曲边梯形的面积 3 求曲边梯形的面积 通常采用分割 似代替 求和 取极限的方法 例2 已知某运动物体做变速直线运动 它的速度v是时间t的函数v t 求物体在t 0到t t0这段时间内所经过的路程s 2 似代替在每个小区间上以匀速直线运动的路程似代替变速直线运动的距离 3 求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程似代替 所以在时间 0 t0 范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和似代替 4 取极限求和式 的极限 点评 求变速直线运动的路程问题 方法和步骤类似于求曲边梯形的面积 仍然利用以直代曲的思想 将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题 求解过程为 分割 似代替 求和 取极限 三 解答题4 汽车行驶的速度为v t2 求汽车在0 t 1这段时间内行驶的路程s 解析 1 分割
