《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第一节 微分中值定理 洛必达法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀 第一节 微分中值定理 洛必达法则（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 微分中值定理 第三章导数的应用 第一节微分中值定理洛必达法则 二 洛必达法则 三 其他类型未定型极限的计算 一 微分中值定理 罗尔定理如果函数y f x 在闭区间 a b 上连续 罗尔定理的几何意义是 如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于Ox轴的切线 且两端点处的纵坐标相等 那么其上至少有一条平行于Ox轴的切线 如图所示 那么至少存在一点x a b 使f x 0 且在区间端点处的函数值相等 即f a f b 在开区间 a b 内可导 x 拉格朗日定理若函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 使得 则至少存在一点x a b 拉格朗日中值定理的几何意义 如果连续曲线除
2、端点外处处都具有不垂直于Ox轴的切线 那么该曲线上至少有这样一点存在 C 在该点处曲线的切线平行于联结两端点的直线 如图所示 证 显然F x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 而 F a f a F b f a 从而知F x 满足罗尔定理 至少存在一点x a b 使F x 0 即 例1问函数f x x3 3x在 0 2 满足拉格朗日定理的条件吗 如果满足请写出其结论 解显然f x 在 0 2 上连续 在 0 2 内可导 定理条件满足 且 f x 3x2 3 所以有以下等式 这个x是在开区间 0 2 内的 由于f 2 2 f 0 0 f x 3x2 3 将这些值代入 可解得 推论1设f x
3、 在 a b 上连续 若在 a b 内的导数恒为零 则在 a b 上f x 为常数 证取x0 a b 任取x a b x x0 因为f x 0 所以f x 0 故 f x f x0 即函数f x 为常数 则 柯西定理若函数f x 和F x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且F x 在 a b 内恒不为零 则至少存在一点x a b 使 例2不求函数f x x 1 x 2 x 3 的导数 说明方程f x 0有几个实根 并指出它们的所在区间 解显然 f x 在区间 1 2 2 3 上都满足罗尔定理 所以至少有x1 1 2 x2 2 3 使f x1 0 f x2 0 又因为f x
4、0是一个一元二次方程 最多有两个实根 且分别在区间 1 2 和 2 3 内 所以方程f x 0有且仅有两个实根 即方程f x 0至少有两个实根 例3设f x sin2x cos2x 试用微分中值定理证明 对于一切恒有f x 1 而f x 2sinxcosx 2sinxcosx 0 证任取考虑0与x之间的闭区间 可知f x 满足拉格朗日定理 所以有 故有f x f 0 易知f 0 1 即f x 1 证得sin2x cos2x 1 二 洛必达法则 定理设函数f x 和j x 在x0的某邻域 或 x M M 0 内可微 且当x x0 或x 时 f x 和j x 的极限为零 如果 的极限存在 或为 则
5、当x x0 或x 时 它们之比的极限存在且 j x 0 证取区间 x0 x 或 x x0 使该区间在给定x0的邻域之内 从而有 其中x在x0与x之间 而f x 与j x 在x0处均连续 可知f x0 j x0 0 为 两边取极限 即 下面我们对定理做一点说明 例4 解 例5 解 例6 解 方法一 上式第二个等号先求出了 故再次使用洛必达法则 得到的仍是 型 方法二 例7 解所求极限是 型未定型 运用法则得 例8 解所求极限是 型未定型 我们连续n次施行洛必达法则 有 三 其他类型未定型极限的计算 其他类型的未定型 在条件允许的情况下 设法转化为这两种类型 未定型的类型虽然很多 例9 解所求极限为 0 型未定型 先将xnlnx改写为 使之转化为 型未定型 于是 例10 解所求极限为 0 型未定型 将它转化为 型计算 例11 解所求极限为 型 通分后再运用洛必达法则 例12 解 上式右边不再是未定型 不能继续使用洛必达法则 容易算出 例13 解所求极限为 型未定型 运用法则得 倘若再次运用法则会得错误结果 如此周而复始 求不出极限 因此洛必达法则失效 例14 解所求极限为 型 若不断运用法则 则有
