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1、2020 年高考数学 3 月份 模拟试卷 理科 一 选择题 1 已知集合M x log2 x 1 1 集合 N x x2 x 6 0 则 M N A x 3 x 3 B x 1 x 2 C x x 3 D x 2 x 3 2 已知纯虚数z 满足 1 2i z 2 ai 其中 i 为虚数单位 则实数a 等于 A 1B 1C 2D 2 3 如图是国家统计局公布的2013 2018 年入境游客 单位 万人次 的变化情况 则下 列结论错误的是 A 2014 年我国入境游客万人次最少 B 后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C 这 6 年我国入境游客万人次的中位数大于13340 万人次 D 前
2、3 年我国入境游客万人次数据的方差小于后3 年我国入境游客万人次数据的方差 4 在平面直角坐标系xOy 中 已知角 的顶点与原点O 重合 始边与x 轴的非负半轴重 合 终边落在直线y 2x 上 则 A B C D 5 已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 7S2 4S4 则公比 q 的值为 A 1 B C D 6 已知 a log0 080 04 b log0 30 2 c 0 30 04 则 a b c 的大小关系为 A c b aB b a cC b c aD a b c 7 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 点 M 为棱 DD1的中点 则平面ACM 截该正 方
3、体的内切球所得截面面积为 A B C D 8 已知双曲线 C 0 O 为坐标原点 F1F2为其左 右焦点 点 G 在 C 的渐近线上 F2G OG 则该双曲线的渐近线方程为 A B C y xD 9 易 系辞上 有 河出图 洛出书 之说 河图 洛书是中华文化 阴阳术数之源 其中河图的排列结构是一 六在后 二 七在前 三 八在左 四 九在右 五 十背 中 如图 白圈为阳数 黑点为阴数 若从这10 个数中任取3 个数 则这3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为 A B C D 10 如图所示 为了测量A B 两座岛屿间的距离 小船从初始位置C 出发 已知A 在 C 的北偏西45 的
4、方向上 B 在 C 的北偏东15 的方向上 现在船往东开2 百海里到达E 处 此时测得B 在 E 的北偏西30 的方向上 再开回C 处 由 C 向西开百海里到 达 D 处 测得A 在 D 的北偏东22 5 的方向上 则A B 两座岛屿间的距离为 A 3B 3C 4D 4 11 已知直线l kx y 3k 1 0 与椭圆 交于 A B 两点 与 圆 C2 x 3 2 y 1 2 1 交于 C D 两点 若存在 k 2 1 使得 则椭圆 C1的离心率的取值范围为 A B C D 12 数学中有许多形状优美 寓意美好的曲线 例如 四叶草曲线就是其中一种 其方程 为 x 2 y2 3 x2y2 给出下
5、列四个结论 曲线 C 有四条对称轴 曲线 C 上的点到原点的最大距离为 曲线 C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形面积最大值为 四叶草面积小于 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 二 填空题 共4 小题 每小题5 分 共20 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 答 错位置 书写不清 模棱两可均不得分 13 的展开式中的常数项为 14 如图所示 直角坐标系中网格小正方形的边长为1 若向量 满足 2 t 0 则实数t 的值为 15 设函数f x lnx ln 2 x ax a 0 若 f x 在 0 1 上的最大值为 则 a 16 已 知 函 数f 在 0 上
6、仅 有2个 零 点 设 则 g x 的在区间 0 上的取值范围为 三 解答题 共5 小题 共计70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如图 在四棱锥M ABCD 中 AB AD AB AM AD 2 MB MD 2 1 证明 AM 平面 ABCD 2 若 CD AB 2CD AB E 为线段 BM 上一点 且BE 2EM 求直线EC 与平面 BDM 所成角的正弦值 18 已知数列 an 为公差不为零的等差数列 Sn是数列 an 的前 n 项和 且a1 a2 a5成等 比数列 S7 49 设数列 bn 的前 n 项和为 Tn 且满足 1 求数列 an bn 的通项公式 2 令 证
7、明 c1 c2 cn 3 19 已知抛物线C y2 2px p 0 点 F 为抛物线的焦点 焦点 F 到直线 3x 4y 2 0 的距离为d1 焦点 F 到抛物线 C 的准线的距离为d2 且 1 求抛物线C 的标准方程 2 若 x 轴上存在点M 过点 M 的直线 l 与抛物线 C相交于 P Q两点 且 为定值 求点M 的坐标 20 某地在每周六的晚上8 点到 10 点半举行灯光展 灯光展涉及到10000 盏灯 每盏灯在 某一时刻亮灯的概率均为p 0 p 1 并且是否亮灯彼此相互独立 现统计了其中100 盏灯在一场灯光展中亮灯的时长 单位 min 得到下面的频数表 亮灯时长 min 50 60
8、60 70 70 80 80 90 90 100 频数1020402010 以样本中100 盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长 1 试估计 p 的值 2 设 X 表示这 10000 盏灯在某一时刻亮灯的数目 求 X 的数学期望E X 和方差D X 若随机变量Z 满足 则认为Z N 0 1 假设当4900 X 5000 时 灯光展处于最佳灯光亮度 试由此估计 在一场灯光展中 处于最佳灯光亮度的时长 结 果保留为整数 附 某盏灯在某一时刻亮灯的概率p 等于亮灯时长与灯光展总时长的商 若 Z N 0 1 则P X 0 6827 P 2 X 2 0 9545 P 3 X 3 0 9973 21 已
9、知函数 m R 1 讨论函数f x 的单调性 2 已知 f x 在 x 1 处的切线与y 轴垂直 若方程f x t 有三个实数解x1 x2 x3 x1 x2 x3 求证 x1 2 x3 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 选修 4 4 参数方程与极坐标选讲 22 在平面直角坐标系xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 a R 在 以坐标原点为极点 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中 曲线C 的极坐标方程为 3 2cos2 4 2sin2 3 1 若点 A 2 0 在直线l 上 求直线l 的极坐标方程 2 已知 a 0 若点
10、 P 在直线 l 上 点 Q 在曲线 C 上 且 PQ 的最小值为 求 a 的 值 选修 4 5 不等式选讲 23 设函数f x x 2 2x 2 1 解不等式f x 2x 1 2 记f x 的 最 大 值 为M 若 实 数a b c 满 足a b c M 求 证 参考答案 一 选择题 共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合 题目要求的一项 1 已知集合M x log2 x 1 1 集合 N x x2 x 6 0 则 M N A x 3 x 3 B x 1 x 2 C x x 3 D x 2 x 3 分析 求出集合A B 再求出并集 解 合 M x log
11、2 x 1 1 1 3 集合 N x x2 x 6 0 3 2 则 M N 3 3 故选 A 2 已知纯虚数z 满足 1 2i z 2 ai 其中 i 为虚数单位 则实数 a 等于 A 1B 1C 2D 2 分析 把已知等式变形 再由复数代数形式的乘除运算化简 由实部为0 且虚部不为 0 列式求解a 值 解 由 1 2i z 2 ai 得 z z 为纯虚数 即 a 2 故选 D 3 如图是国家统计局公布的2013 2018 年入境游客 单位 万人次 的变化情况 则下 列结论错误的是 A 2014 年我国入境游客万人次最少 B 后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C 这 6 年我国入境游
12、客万人次的中位数大于13340 万人次 D 前 3 年我国入境游客万人次数据的方差小于后3 年我国入境游客万人次数据的方差 分析 利用柱形图的性质直接求解 解 由国家统计局公布的2013 2018 年入境游客 单位 万人次 的变化情况柱形图 得 在 A 中 2014 年我国入境游客万人次最少 故A 正确 在 B 中 后 4 年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 故B 正确 在 C 中 这 6 年我国入境游客万人次的中位数为2015 年和 2016 年入境游客万人次的平 均数 从而这 6年我国入境游客万人次的中位数大于13340 万人次 故C 正确 在 D 中 前 3 年我国入境游客万人次数据的方
13、差大于后3 年我国入境游客万人次数据的 方差 故D 错误 故选 D 4 在平面直角坐标系xOy 中 已知角 的顶点与原点 O 重合 始边与x 轴的非负半轴重 合 终边落在直线y 2x 上 则 A B C D 分析 由已知利用任意角的三角函数的定义可求tan 的值 进而利用诱导公式 二倍 角的三角函数公式即可求值得解 解 因为角 终边落在直线y 2x 上 所以 tan 2 可得 cos2 所以 sin 2 cos2 2cos2 1 2 1 故选 C 5 已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 7S2 4S4 则公比q 的值为 A 1B C D 分析 利用等比数列的求和公式即可得出 解
14、 q 1 时不成立 q 0 联立解得q 故选 C 6 已知 a log0 080 04 b log0 30 2 c 0 30 04 则 a b c 的大小关系为 A c b aB b a cC b c aD a b c 分析 由a log0 080 04 b log0 30 2 log0 090 04 根据对数函数的图象 所以b a log0 040 04 1 c 0 30 04 1 得出结论 解 a log0 080 04 b log0 30 2 log0 090 04 根据对数函数的图象 所以b a log0 040 04 1 c 0 3 0 04 1 故选 B 7 已知正方体ABCD A
15、1B1C1D1的棱长为2 点 M 为棱 DD1的中点 则平面ACM 截该正 方体的内切球所得截面面积为 A B C D 分析 设圆心到截面距离为d 截面半径为r 由 VO ACM VM AOC 求出 d 再利用 d 2 r2 1 求出 r 代入求出结果 解 设圆心到截面距离为d 截面半径为r 由 VO ACM VM AOC 即 d 故 d 又 d2 r2 1 r 所以截面的面积为 r2 故选 A 8 已知双曲线C 0 O 为坐标原点 F1F2为其左 右焦点 点 G 在 C 的渐近线上 F2G OG 则该双曲线的渐近线方程为 A B C y xD 分析 由题意设G 的坐标 再由F2G OG 可得
16、数量积为 0 可得G 的坐标 再由 可得 a c b的关系式 再由双曲线中的a b c 之间的关系求出a b 的关系 进而可得双曲线的渐近线的方程 解 由双曲线的方程可得渐近线的方程为 y x 焦点 F1 c 0 F2 c 0 设 G 在第一象限 坐标为 x0 x0 因为 F2G OG 所以 0 即 x0 c x0 x0 x0 0 整理可得 1 x02 cx0 0 解得 x0 所以 G 因为 可得 整理可得 2a4 a2b2 b4 0 可得 2a2 b2 a 0 b 0 所以 b 所以双曲线的渐近线的方程为 y x 故选 D 9 易 系辞上 有 河出图 洛出书 之说 河图 洛书是中华文化 阴阳术数之源 其中河图的排列结构是一 六在后 二 七在前 三 八在左 四 九在右 五 十背 中 如图 白圈为阳数 黑点为阴数 若从这10 个数中任取3 个数 则这3 个数中至少 有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为 A B C D 分析 从这10 个数中任取3 个数 基本事件总数n 120 利用列举法求出这3 个数中至少有2 个阳数且能构成等差数列包含的基本事件有10 个 由此能求出这3 个数 中至
