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1、第九章刚塑性有限元法及其应用 第一节概述第二节连续体的离散化第三节单元的几何特性第四节载荷向节点的移置第五节刚塑性有限元法 第一节概述 有限元的基本思想 1 把变形体看成是有限数目单元体的集合2 分片近似 对每一个单元选择函数来近似描述其场变量3 将各个单元所建立的关系式加以集成 得到一个与有限个节点相关的总体方程有限元法的实质就是将无限个自由度的连续体 简化成只有有限个自由度的单元集合体 并用一个较简单问题的解去逼近复杂问题的解 有限法的一般解题步骤1 连续体的离散化2 选择满足某些要求的联系单元节点和单元内部各点位移 或速度 的插值函数3 建立单元的刚度矩阵或能量泛函 4 建立整体方程5
2、解方程求未知节点的位移6 由节点位移 得用几何方程和物理方程 求整个变形体的应变场 应力场 第二节连续体的离散化 对于二维的平面问题 常用的单元形式有三角形 四边形 六节点三角形和八节点四边形等 轴对称问题的单元是其子午面有一定的几何形状的环形旋转体 其节点应理解为圆形 在三维空间问题中 常见的单元体形式为四面体和六面体 也采用曲边四面体和曲边六面体 如图示 第三节单元的几何特性 一 位移模式和形状函数 1 位移模式必须包含单元的刚体位移 2 位移模式必须包含有单元的常应变项 3 位移模式必须满足位移的连续性位移模式多采用多项式 它便于微分和积分 且增加多项式的次数能提高计算精度 1 三角形单
3、元的位移模式和形状函数 现将节点的位移和坐标代入式9 1 NiNjNm分别称为三角形单元三个节点的形状函数 它们有如下性质 1 在第i节点上 Ni 1 Nj 0 Nm 0 在第j节点上 Nj 1 Ni 0 Nm 0 在第m节点上 Nm 1 Nj 0 Ni 0 2 在单元的任一点上 Ni Nj Nm 1 3 在三角形单元ijm的某一边上 如在ij边上 二 应变矩阵和几何矩阵1 三角形单元的应变矩阵和几何矩阵平面问题写成矩阵形式为 第四节载荷向节点的移置 单元之间的力是假定通过节点来传递的 单元的边界并不传递力 单元载荷移置的基本原则是 单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相对应的虚位移上所做的虚功
4、相等 即所谓能量等效原则 第五节刚塑性有限元法 刚塑性有限元法的理论基础是变分原理 即认为在一切动可容速度场中 使能率泛函数取得驻值的速度场就是真实速度场 根据这个速度场 利用小变形几何方程即可求得应变速率场 进而由本构方程求得应力场 刚塑性有限元法求解过程中 主要有拉格朗日乘子法 体积可压缩法和罚函数法 一 拉格朗日乘子法1 刚塑性材料不完全广义变分原理拉格朗日乘子法是建立在刚塑性材料不完全广义变分原理的基础上 它把体积不可压缩条件用拉格朗日乘子 引入能率泛函中 得到如下的新泛函 2 求解方程的建立 二 体积可压缩法 1 理论基础对于刚塑性问题 由于假设体积不可压缩 故当求得速度场后 利用圣
5、维南塑性流动方程 只能求得应力偏量 而无法求得应力值 前面介绍的拉格朗日乘子法 虽然可求得应力值 但计算工作量大 众所周知 金属材料 在其塑性变形时 也会由于孔隙的压实而发生微量的体积变化 而体积变化的大小又是与平均应力 静水应力 有关 这样 如果假设塑性变形时材料的体积是可变的 则当求得速度场后 就不难确定其体积变化 进而求得平均应力和应力值 可压缩材料的刚塑性有限元法 正是建立在材料体积可以变化的基础上的 三 罚函数法 所谓罚函数法 就是根据泛函是否满足体积不变条件来决定是否给予惩罚 以改变泛函值而促使其满足体积不变条件 具体的做法是 在泛函中引入由一个很大的正数a 通常为105 106 乘以体积应变速率平方形成的惩罚项 构成如下的新泛函
