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1、0348数理统计【 随堂练习】（3）2010-12-19 08:30:00 - 09:50:001设总体 服从参数为（N ，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数， 为来自总体 的一个样本，求（N ，p）的矩法估计。答：1因为 ，只需以 分别代 解方程组得 。2设总体 服从a，b上的均匀分布其中 a，b 为两个未知参数，样本 来自总体 ，求未知参数 a，b 的矩法估计。答：2由 服从a，b上的均匀分布，易知 为求 a，b 的矩法估计量只需解方程组 得 。3设连续型总体 的概率密度为 ， 来自总体 的一个样本，求未知参数 的极大似然估计量 ，并讨论 的无偏性。答：3似然函数为 其中 因此 的极
2、大似然估计量 是 的无偏估计量。4设总体 的概率密度为 其中 为未知参数，样本 来自总体 ，求未知参数 的矩法估计与极大似然估计。答：4首先求数学期望 从而解方程 得 的矩法估计为 。似然函数为令 解得 的极大似然估计为 。5设 是取自正态总体 的一个容量为的样本，试证下列三个估计量都是 的无偏估计量： ，并指出其中哪一个方差较小。答：5由于 且 独立，故有故它们均为 的无偏估计，又由于 1/25/95/8，所以第三个估计量的方差最小。6设 是取自正态总体 的一个样本，试证 是 的相合估计。答：6由于 服从自由度为 n-1 的 -分布，故从而根据车贝晓夫不等式有 所以是 是 的相合估计。7设
3、是取自具有下列指数分布的一个样本， ，证明是 的无偏、相合、有效估计。答：7首先由于 ，故 ，即样本均值是 的无偏估计。又故 C-R 下界为 ，因此样本均值是 的有效估计另外由车贝晓夫不等式 所以样本均值还是 的相合估计。8设 是独立同分布随机变量都服从几何分布 则 是 的充分统计量。答：8由于 的联合密度函数为则由因子分解定理知 是 的充分统计量。9设 是独立同分布随机变量，其分布是均匀分布 ，其密度函数试证（1） 是 的无偏估计；（2） 是 的 UMVUE。答：9（1）由 知 是 的无偏估计；（2） 则由因子分解定理知 是 的充分统计量，其密度函数为 又若 ，则 即 ，两边对 求导得故 ，
4、所以 是完备充分统计量，由此得出 是 的 UMVUE。10随机地从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布，试求总体均值 的 0.9 的置信区间。（1）若已知 =0.01（厘米），（2）若 未知。答：10（1） 置信度 0。9，即 =0。1，查正态分布数值表，知即所以总体均值 的 0。9 的置信区间为（2） 未知置信度 0。9，即 =0。1，自由度 n-1=15， 查 t-分布的临界值表所以置信度为 0。9
5、 的 的置信区间是11某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田 18 块，每块面积 1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的 10 块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余 8 块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率 0.95 下，求每 1/20 亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。答：11设正态总体 分别表示施肥和不施肥的
6、每 1/20 亩的水稻收获量，据题意，有 对 1-=0.95 ，即 =0.05，查 t 分布表（自由度为 n+m-2=16） ，得 ，于是所以在置信概率 0。95 下，求每 1/20 亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产 0.6 到 2.8 市斤。12岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测 12 个样品，得 S=0.2，求 的置信区间（=0.1）。答：12n=12，=0.10，s=0.2 查 分布表（自由度为 n-1=11），得 因此所以 的置信区间为 0.022335，0.09628。13随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差为 11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种
7、炮弹速度的标准差 的 0.9 的置信区间。答：13求方差的置信区间： S=11 置信度 0。9，即 =0。1，自由度 n-1=8， 查 分布的临界值表，得 ，所以，置信度为 0。9 的炮口速度的标准差 的置信区间是14设 A，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10 次测定，其测量值的修正方差分别为 ，设 和 分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比 / 的 0.95 的置信区间。答：141-=0.95，=0.05故方差比 / 的 0。95 的置信区间为0.222 ，3.601。15设总体 服从均匀分布 U0， ，其中 为未知参数，样本 来自总体 ， ，试在置信概率 1- 下，利用 ，求 的形如0 ，z的置信区间。答：15因为 服从均匀分布 0，1（i=1，2，n） ，它们的分布函数为于是 的分布函数为 密度函数为 对给定的置信概率 1-，由 即 ，定出 ，即有 即是说， 是在置信概率 1- 下 的置信区间。
