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1、 三角函数的图象和性质(一)撰稿：皇甫力超 审稿：安东明 责编：张杨目标认知学习目标1.掌握正弦、余弦函数、正切函数的图象和性质；2.学会“五点作图法”；3.理解周期性的概念；4.掌握研究函数的一般方法，并在用研究函数的一般方法研究正弦函数的过程中，体会数形结合的数学思想；5.在研究过程中培养归纳和化归的能力；6.培养抓住事物间联系进行转化的思想.学习重、难点正弦函数的图象和性质，五点作图法.学习内容正弦函数和余弦函数的图象和性质一、正弦函数的图象和性质研究正弦函数的主要思路有两个：一是利用三角函数线，描点作图，利用函数图象研究性质；二是按照研究函数的一般方法研究正弦函数性质，再根据性质作出函
2、数图象.正弦函数性质如下表所示：y=sinx定义域值域奇偶性单调性周期性R-1，1奇函数由诱导公式易推导在上单调增在上单调减可以利用三角函数线进行观察和研究得到T=2可以根据诱导公式得到根据正弦函数的性质，可以做出正弦函数(一个周期内的)图象如下：说明：(1)正弦函数定义域为R，没有任何限定；(2)正弦函数是奇函数，因此可以先作出区间上的函数图象，然后根据奇函数的性质对称得到整个定义域上的图象；(3)正弦函数是周期为，因此只需要关注一个周期(例如)的图象即可；(4)因为，所以点是正弦曲线的一个对称中心.因此只需作出区间0，上的正弦曲线，然后利用中心对称即能作出区间0，2上的正弦曲线.事实上，正
3、弦曲线的对称中心为；(5)因为，所以直线是正弦曲线的一个对称轴.因此只需作出区间上的图象，然后利用轴对称性得到区间上的图象.事实上，正弦曲线的对称轴为；(6)一般常用五点法作图作出正弦曲线的草图.具体操作办法：列表计算，然后描出函数图象的五个关键点(最值点和平衡位置点)，再结合函数值在各个特殊点附近的变化趋势，即可大致描绘出正弦函数的图象.二、余弦函数的图象和性质在研究余弦函数的图象和性质时，可以类比正弦函数图象和性质的研究办法：一是描点作图，利用图象读性质；二是研究性质，利用性质作图.考虑到正弦函数和余弦函数的关系，可以有更简单的做法：平移正弦函数图象(向左平移)得到余弦函数的图象，然后由图
4、象观察余弦函数的相关性质.余弦函数图象：余弦函数性质：y=cosx定义域值域奇偶性单调性周期性R-1，1偶函数也可以由诱导公式易推导在上单调减在上单调增也可以利用三角函数线进行观察和研究得到T=2也可以根据诱导公式得到典型例题1.求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).【解析】(1)由题，所以有.即.所以函数的定义域为.(2)由题，解不等式得：.(3)由题，容易解得.2.求函数的值域：(1)；(2).【解析】通过换元方法转化为熟悉的函数类型来处理，注意换元后新元的取值范围.(1)令.(2)令在-1，1上函数单调增.3.求下列函数的单调增区间：(1)y=cos2x；(2)；(3).【解析】(
5、1)当单调递增. y=cos2x的单调增区间为.(2)当，单调递增.该函数的单调增区间为.(3)单调减时单调递增. 令，解得. 的单调增区间为.4.判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).【解析】(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称.又 函数f(x)为奇函数.(2)由题可得，即，所以. 定义域关于原点对称. 因为，f(x)为奇函数.正切函数的图象和性质可以类比正弦函数图象和性质的研究方法得到正切函数的图象和性质.(1)定义域：；(2)值域：；(3)周期性：；(4)单调递增区间：；(5)奇偶性：是奇函数(由于tan(-x)=-tanx)；(6)对称性：y=tanx图象是中心对称图形，其对称中心
6、是.典型例题1.求下列函数的定义域：(1)；(2).【解析】(1)利用“换元法”求解.令，则函数y=tanz的定义域为.，故函数.(2).所以函数的定义域为.2.函数.【解析】.由于y=tanx在上是增函数，且：，.即，填.3.函数的递增区间是( )A. B. C. D. 【解析】由，选C.4.求函数的单调递减区间. 【解析】先考虑基本的正切函数图象，后写出单调区间.作函数y=|tanx|的图象，由图象可知：其单调递减区间是：，单调递增区间是：.令.故函数的单调递减区间是：. 一、目标认知学习目标：1能画出的图象；2了解对函数图象变化的影响.重点：的图象与性质，如值域、最值、单调性、周期性等.
7、难点：性质的应用.二、知识要点梳理知识点一：用五点法作函数的图象用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.要点诠释：用“五点法”作图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.知识点二：函数中有关概念表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.知识点三：由得图象通过变换得到的图象类型一：三角函数的图象1画出函数y=sin(x+)，xR的简图.解析：法一：(五点法)：列表xx+0sin(x+)010-10描点画图：法二：(图象变换)函数y=sin(x+)，xR的图象可看作把正弦曲线上
8、所有的点向左平行移动个单位长度而得到.2画出函数y=3sin(2x+)，xR的简图.解：(五点法)由，得，列表：x2x+03sin(2x+)030-30描点画图：这种曲线也可由图象变换得到：总结升华：由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).先将y=sinx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位，便得的图象.举一反三：【变式
9、1】已知函数y=5sin(x+)(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象.思路点拨：(1)由振幅、周期、初相得定义即可解决；(2)“五点法”作图的关键是找出与x相对应的五个点.解析：(1)振幅A=5，周期，初相(2)列表，描点，作图x0050-50 类型二：三角函数的解析式3已知如图是函数其中的图象，那么( )A. B.C. D.解析：(法一)由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图象上的点，将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin=1，即sin=，又，.又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以，即，解之得，故选C.(法二)解此题时，若能充
10、分利用图象与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解，即：观察各选择答案可知，应有观察图象可看出，应有，故可排除A与B；由图象还可看出，函数的图象是由函数的图象向左移而得到的，0，又可排除D，故选C.4如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.分析：由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出.解析：A=5，由点(，5)在此函数的图象上，则解一：(单调性法)点在递减的那段曲线上由得.解二：(最值点法)将最高点坐标(，5)代入得取.解三：(起始点法)函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0
11、，就可以迅速求得角.由图象求得，解四：(平移法)由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即.总结升华：错解： 将代入该式得：， 由，得 或 或.代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出.举一反三：【变式1】已知函数，在同一周期内，当时函数取得最大值2，当时函数取得最小值-2，则该函数的解析式为( )A. B.C.D.解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(，2)和点(，-2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点” 和“第四点”，所以应有：解得答案：B.总结升华：由的图象
12、求其函数式：一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的不加限制(如的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中.类型三：三角函数的模型5一根为的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，(1)求小球摆动的周期和频率；(2)已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度应当是多少？解析：(1)； (2).举一反三：【变式】国际大都市上海
