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1、6 1引言 1 板定义一个构件当其厚度尺寸远小于长 宽两个方向尺寸时 称为板 这里主要讲 平板 厚板 厚度与其它一个最小尺寸之比大于1 5 薄板 厚与其它尺寸之比小于1 5 弯曲刚度不为零 薄膜 厚度薄 弯曲刚度为零时 第6章弯曲板单元 本章涉及的板属于薄板范畴 所谓 弯曲板 指受侧向荷载作用 以弯曲变形为主的板 2 中面 位于1 2板厚位置 与板平面平行的面称为板的中面 图6 1 今后 我们把坐标面xoy置于中面上 z轴方向符合右手螺旋规则 图6 1 4 板的应力与内力素 1 应力从薄板中取出一个长 宽 高分别为dx dy和t的微分体 坐标系如图6 2所示 图6 2薄板弯曲应力 弯曲变形时的
2、薄板内 存在着六个应力分量 假设2表明 对薄板小挠度问题 有加之相应的应变 也被略去 薄板内任何一点 x y z 的挠度与坐标z无关 挠度w仅仅是坐标 x y 的函数 因此 我们完全可以用中面的挠度来描述整个薄板的挠度 2 弯曲力弯曲应力组成了六个内力素Mx My Mxy Myx Qx和Qy 由于它们和弯曲变形相对应 称为弯曲力 图6 3 弯曲力 约定 弯曲力是板相应方向单位宽度上的力 力素的正负图中力素矢量为正 图6 3 图6 4 6 2基本方程 1 位移由假设 1 3 板内任一点的位移有 u v wu x方向位移v y方向位移w z方向位移并有 6 1 2 应变板内任一点 需要考虑由三个分
3、量组成应变向量 再注意到式 6 1 应变列阵可表示为 6 2 引入板单元的形变向量 有 6 3 板内任一点的应变向量表示为 6 4 3 应力由物理方程 对板内任一点都有 这与平面应力问题的物理方程相同 也可写为 6 5 式中 6 5a 4 内力矩板内任一点的内力矩用表示 它们是板单位宽度上的内力矩 如图6 2 分别是该点应力的合力矩 并且 6 6 薄板弯曲变形的弹性矩阵 6 7 比较式 6 5 和式 6 6 可用内力矩表示薄板的应力 6 8 6 3薄板矩形单元 1 单元位移和单元力 根据基本假设 薄板弯曲理论是梁弯曲理论的二 维化结果 因此 薄板弯曲弯曲变形时 板中任一点的位移分量是挠度 w
4、和绕x y轴的转角 x y 在节点i 图6 5 有 6 9 用挠度表达角位移后 矩形板单元有4个节点单元位移为 12components 单元力 2 位移模式 矩形薄板单元有12个节点位移分量 但从式 6 10 知 只有挠度w是独立的 所以只设定挠度w的位移模式 其表达式应含有12个待定系数 设 6 14 按照如图6 5所示边长为2a 2b的矩形单元和坐标系xyz情况 将4个节点的节点位移代入式 6 14 可解出a1 a12 再代入该式并整理 写成第2章形函数形式 2 10 6 15 式中 形函数 N 可简写为子矩阵形式 6 16 6 18 子矩阵 6 17 子矩阵元素 其中 按图6 5规定的
5、坐标系 i i的值总为1或 1 3 应变和应变矩阵 将式 6 15 P15 代入式 6 2 P8 可以将单元中任一点的应变计算式为 6 20 式中 B 是应变矩阵 其子矩阵为 6 21 符号 将式 6 18 P16 代入式 6 21 得 6 22 由式 6 22 和 6 19 P17 即可建立弯曲矩形板单元的应变矩阵 B 由式 6 3 P8 定义的形变向量也可按照它与挠度w的关系式 6 2 的关系得出 6 23 式中 Bi 为式 6 22 所示 Bi 除z的结果 即 6 24 4 应力和应力矩阵 将式 6 20 代入物理方程式 6 5 得应力计算式 6 25 应力矩阵为 6 26 其中子矩阵
6、5 内力矩计算式和内力矩矩阵 单元内任一点 k 的内力矩由式 6 6 P11 确定 为了区分起见 把其中的内力矩符号换成 Mk Mk 中包括k点的两个弯矩和扭矩 考虑到形变向量式 6 23 P21 可得单元内任一点内力矩与节点位移关系 S 为内力矩矩阵 将其写成分块矩阵形式 6 29 式中 i j m n 6 30 其中 6 28 有限元属于数值算法 不能计算任一点的力学量 因为 不知道任一点的坐标x y 只能计算节点处的力学量 所以 我们要计算的内力矩是单元4个节点 i j m n 处的内力矩 按式 6 19 计算 据此 改写式 6 28 6 29 6 30 分别为 6 28a 6 29a
7、分析式 6 29a 的下标规律对编写计算程序是很有用的 把其中任意一个子矩阵的下标用rs表示 即 Srs 式 6 29a 的第一行 r i s按s i j m n变化 第二行 r j s按s i j m n变化 第三行 r m s按s i j m n变化 第四行 r n s按s i j m n变化 这一情况符合算法语言中的双循环 可使用语句 DO10R 1 4DO10S 1 410 Srs 注意理解式 6 29a 下标的概念后 把式 6 30 改写为 式 6 28a 6 30a 6 19a 可用来方便地编写内力矩矩阵 S 的子程序 6 单元刚度矩阵 计算单元刚度矩阵的公式仍为式 2 33 2
8、33 只是式中 D B 应代入弯曲矩形板的弹性矩阵 应变矩阵 他们分别由式 6 5a 6 20 6 22 确定 通过式 6 19 换被积函数为 且有dx ad dy bd 则 6 31 6 32 将 K 写为分块形式 式中子矩阵 krs 为3 3的矩阵 6 34 根据积分结果 用节点坐标表示的式 6 34 中各元素的显式如下 式中 其中 D为薄板刚度 且 7 等价节点力计算 等价节点力计算式可参照公式 2 35 推出 如果板单元受到分布横向载荷p 单位面积上的横向荷载 作用 于是等效结点力 Fd e为 6 36 式 6 36 和 2 35 具有相似的形式 对于均布载荷情形 则将式 6 16 6 18 所示形函数代入上式 经过简单积分 得 6 4关于薄板的边界约束 工程中的薄板都受有刚性支承或和结构的其它部分连接 这里讲的边界约束是指刚性支承情况 薄板的边界约束主要有两种 固支和简支 边界条件 固定边 w 0 x 0 y 0 简支边 w 0 扭转转角 x 0 对图6 6 或 y 0 对称条件 AB边 扭转转角 x 0CD边 扭转转角 y 0 6 5弯曲矩形板单元单元刚度矩阵子程序 6 6弯曲矩形板单元内力矩矩阵子程序
