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1、2019 2020 学年黑龙江省哈尔滨六中高三 上 期中数学试卷 理科 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一个是符合题目要求的 1 已知集合 1A 2 4 8 集合 Bz zxy x A yA 则集合 B 中元素的个 数为 A 7B 8C 9D 10 2 已知复数 51 21 i z ii 则复数z对应的点在复平面内位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 设 a b 满足 1 2 1 abx 且 aba 则实数 x的值为 A 3B 3C 1 2 D 1 2 4 若实数x y 满足不等式组 4 0 232 0 440 x
2、y xy yx 则2zxy的最大值为 A 2B 4C 6D 8 5 2 2cos 51 sin 40 cos40 的值为 A 1B 2C 1D 2 6 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若 m n 则 m n为异面直线 若 m m 则 若 m 则 m 若 m n mn 则 则上述命题中真命题的序号为 A B C D 7 设 n S 为正项等比数列 n a的前 n 项和 5 a 3 3a 4 a 成等差数列 则 8 4 S S 的值为 A 1 16 B 1 17 C 16D 17 8 已知曲线 2 f xalnx x 在1x处的切线与x y 轴分别交于A B 两点
3、 若OAB 的 面积为 25 6 则正数 a 的值为 A 1B 2C 2D 4 9 如图 在几何体 111 ABCAB C 中 ABC 为正三角形 111 AABBCC 1 AA平面 ABC 若 E 是棱 11 BC 的中点 且111 2ABAACCBB 则异面直线 1 A E 与1AC 所成角的余弦值为 A 13 13 B 2 13 13 C 26 13 D 2 26 13 10 已知 f x 是定义在R 上的偶函数 满足 2 f xf x 当 0 x 1 时 3 f xxx 若 22 4 log log 4 1 2019 5 afbfcf 则 a b c 的大小关系为 A abc B ba
4、c C cab D cab 11 已知数列 n a满足 2 32 1 222 119 2324 n aaa ann n 则 n a中的最小项的值为 A 20B 85 4 C 81 4 D 343 16 12 已知函数 f x 的定义域为 0 且 22 x xf xx fxe 1 2 2 fe 则 f x A 在定义域上单调递减B 在定义域上单调递增 C 在定义域上有极大值D 在定义域上有极小值 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的外接球的表面积为 14 设 a b 为正实数 且 214 ba a bab 则 2 2 1b a
5、ba 的最小值为 15 已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为60 若此圆锥的侧面积为8 则该圆锥 的体积为 16 在ABC 中 设边 a b c 所对的角分别为A B C 若角 A 为锐角 BC 边上的 高为 5 8 a 且 bcpa 则实数p 的取值范围为 三 解答题 本大题共5 小题 共70 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 17 在ABC 中 设边 a b c 所对的角分别为A B C 已知 cos3sin ba AA c 求角C 的大小 若 222 1 4 abc 求 sincosAB 的值 18 已知递增的等差数列 n a的前 n项和为 n S 若 1 a 2
6、a 4 a 成等比数列 且 5 30S 求数列 n a的通项公式及前 n项和 n S 设 1 1 nn n nn aa b aa 求数列 n b的前 n项和 n T 19 已知函数 cos 0 2 f xAx的最小正周期为 将 f x 的图象向右平 移 6 个单位长度后得到函数 g x g x 的图象关于y 轴对称 且 2 6 f 求函数 f x 的解析式 设函数 F xf xg x 若函数 F x 的图象在 0 x 0 aa上恰有2 个最高 点 求实数a 的取值范围 20 如图 底面为正方形的四棱锥PABCD 中 PA平面 ABCD E 为棱 PC 上一动点 PAAC 当 E 为 PC 中点
7、时 求证 PA平面 BDE 当AE平面 PBD 时 求 PE CE 的值 在 的条件下 求二面角PBDC 的余弦值 21 已知函数 x f xxe 证明 当0 x时 2 2 x f xxex 若斜率为k 的直线与曲线 f x 交于 1 A x 1 y 2 B x 221 0 yxx两点 求证 12 12 1 1 xx xekxe 请考生在22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的的第一题记分 选修4 4 坐标系与参数方程 22 已知曲线 C 的参数方程为 2 2 cos 2 sin x y 为参数 点 P 是曲线 C 上一动点 过点 P 作 PNy 轴于点 N 设点 Q 为 NP 的
8、中点 O 为坐标原点 求动点Q 的轨迹 1 C 的参数方程 过 1 3 M的直线交曲线 1 C 于不同两点A B 求22 11 MAMB 的取值范围 选修 4 5 不等式选讲 23 已知 a b c 为正实数 且 111 3 abc 解关于c 的不等式 2 5 ab cab 证明 222 3 cab abc 2019 2020 学年黑龙江省哈尔滨六中高三 上 期中数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一个是符合题目要求的 1 已知集合 1A 2 4 8 集合 Bz zxy x A yA 则集合 B 中元素的
9、个 数为 A 7B 8C 9D 10 解答 解 集合 1A 2 4 8 集合 Bz zxy xA 1yA 2 4 8 16 32 64 集合 B 中元素的个数为7 故选 A 2 已知复数 51 21 i z ii 则复数z对应的点在复平面内位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解答 解 2 515 2 1 21 2 2 1 1 iii z iiiiii 222ii i 复数 z 对应的点的坐标为 2 2 在复平面内位于第四象限 故选 D 3 设 a b 满足 1 2 1 abx 且 aba 则实数 x的值为 A 3B 3C 1 2 D 1 2 解答 解 1 1 abx aba
10、 120ab ax 3x 故选 B 4 若实数x y 满足不等式组 4 0 232 0 440 xy xy yx 则2zxy的最大值为 A 2B 4C 6D 8 解答 解 由实数x y 满足不等式组 4 0 232 0 44 0 xy xy yx 作出可行域如图 联立 4 2320 xy xy 解得 2 2 A 化目标函数2zxy 为2yxz 由图可知 当直线2yxz 过 A 时 直线在 y 轴上的截距最大 z 有最大值为222 6 故选 C 5 2 2cos 51 sin 40 cos40 的值为 A 1B 2C 1D 2 解答 解 2 2cos 51cos102cos10 sin 40 c
11、os40sin 40 cos402sin 40 cos40 2cos102cos10 2 sin80cos10 故选 D 6 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若 m n 则 m n为异面直线 若 m m 则 若 m 则 m 若 m n mn 则 则上述命题中真命题的序号为 A B C D 解答 解 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 对于 若 m n 则 m n可能平行 故错 对于 若 m 则在平面内一定可以找到一条直线与m 平行且垂直 又 m 则 故正确 对于 若 m 则 m 与位置关系不定 故错 对于 若 m n mn 则 故错 故选 C 7
12、设 n S 为正项等比数列 n a的前 n 项和 5 a 3 3a 4 a 成等差数列 则 8 4 S S 的值为 A 1 16 B 1 17 C 16D 17 解答 解 正项等比数列 n a的公比设为 q 0q 5 a 3 3a 4 a 成等差数列 可得 3546aaa 即 243 1116aqa qaq 化为 2 60qq 解得2 3q舍去 则 8 1 8 4 8 4 4 1 4 1 11 111617 1 1 1 a q Sqq q a Sq q q 故选 D 8 已知曲线 2 f xalnx x 在1x处的切线与x y 轴分别交于A B 两点 若OAB 的 面积为 25 6 则正数 a
13、 的值为 A 1B 2C 2D 4 解答 解 因为 2 2 a fx xx 所以 k f 1 2a 而 f 1 2 故切线方程为 2 2 1 yax 由此可得点 4 2 a A a 0 0 4 Ba 由于0a 1425 4 226 OAB a Sa a 化简得 2 320aa 解得1a 故选 A 9 如图 在几何体 111ABCAB C 中 ABC 为正三角形 111 AABBCC 1AA平面 ABC 若 E 是棱 11 BC 的中点 且 111 2ABAACCBB 则异面直线 1 A E 与 1 AC 所成角的余弦值为 A 13 13 B 2 13 13 C 26 13 D 2 26 13
14、解答 解 以 C 为原点 在平面ABC 内过 C 作 BC 的垂线为x 轴 CB 为 y 轴 1 CC 为 z 轴 建立空间直角坐标系 设 111 22ABAACCBB 则 1 3 A 1 2 3 1 0 A 1 0 C 0 2 1 0 B 2 1 0E 1 3 2 1 3AE 0 1 2 1 3AC 1 2 设异面直线 1 A E 与 1 AC 所成角为 则 11 11 226 cos 13 13 8 4 AE AC A EAC 异面直线 1A E 与1AC 所成角的余弦值为 26 13 故选 C 10 已知 f x 是定义在R 上的偶函数 满足 2 f xf x 当 0 x 1 时 3 f
15、 xxx 若 22 4 log log 4 1 2019 5 afbfcf 则 a b c 的大小关系为 A abc B bac C cab D cab 解答 解 根据题意 f x 满足 2 f xf x 即函数 f x 是周期为2 的周期函数 则 2019 121007 afff 1 222 4 1 log 4 1 log 4 12 log 4 bfff 又由 f x 为偶函数 则 222 445 log log log 554 fff 当 0 x 1 时 3 f xxx 易得 f x 在 0 1 上为增函数 又由 22 4 15 0loglog1 44 则有 bac 故选 B 11 已知数
16、列 n a满足 2 32 1 222 119 2324 n aaa ann n 则 n a中的最小项的值为 A 20B 85 4 C 81 4 D 343 16 解答 解 由 2 32 1 222 119 2324 n aaa ann n 当1n时 1 17 4 a 当2n 时 2 312 1 222 119 1 1 23 1 24 n aaa ann n 由 得 2 21 4 n a n n 3221 4 n ann 2n 当1n时 1 17 4 a也符合上式 32 21 4 n ann nN 设 3221 4 f xx x 0 x 则 221 3 2 fxx x 由 0fx得 7 2 x 由 0fx得 7 0 2 x f x 在 7 0 2 上单调递减 在 7 2 上单调递增 而 f 3 81 4 f 4 20 当3n时 n a 最小 且最小值为 81 4 故选 C 12 已知函数 f x 的定义域为 0 且 22 x xf xx fxe 1 2 2 fe 则 f x A 在定义域上单调递减B 在定义域上单调递增 C 在定义域上有极大值D 在定义域上有极小值 解答 解 由条件有 2
