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1、一类具有不同反应项的非线性方程组的爆破速率一、引言 在本文中，我们考虑了下列非线性抛物系统 (1.1)其中是具有光滑边界 的有界区域，是 上的外方向向量，初值u0(x),v0(x0)且满足相容性条件。在本文中，我们做如下假设，(H)是有界区域，具有边界 C1+ ，0u1且存在一个正的常数 ，使得对首先 ， 根据 (H) 条件，我们可以得到u,v之间的关系。引理 1.1 若条件(H)成立，且(u,v)是系统 (1.1) 的解 ， 则有 ,对任意 （1.2）证明:令J(x,t) = uq+1(x,t) epv(x,t)，通过计算可得:JtJ+.?Jpqu-1?u.?v.J=epv.|?v|2+(q
2、+1)- puqepv0,(x,t)?0,T)且 J(x,0)=u0q+1(x)- epv0(x)0,综上，由比较原理，我们可得到J(x,t)0,即（1.2）成立。引理1.2若u0(x),v0(x)是满足条件(H)的初值，且T为爆破时间，则存在一个正的常数C1，使得 （1.3）二、爆破速率定理 2.1当p,q0且（H）条件成立时，存在正的常数C1,C2,C3,C4使得C1(Tt)-maxu(x,t)C2(Tt)- (2.1) (2.2)证明：令,由最大值原理，得，取t*T，x* ，使得M(t*)=u(x*,t*)，令M=M(t*)，N=N(t*),设b=M-q，a=M-, a=y:aRny+x
3、*,at=a?-) （2.3） a(y,s)=， a(y,s)=， (y,s) （2.4）其中Rn是将向量(-1，0，0)映射到 上的单位外法向量的正交变换。注意到时a0+，边界 a|y|K逼近到超平面y1=0，且属于C2+ 。由引理1.1，我们知道存在一个正的常数C( )，使得 a(y,s)C( ).因此( a, a)满足 0 a(y,s)1,0 a(y,s)C( ) (2.5) a(0,0)=1 ( a)s0,( a)s0. (2.6)且为下面问题的解( a)s=y a+ ap,( a)s=( ay a|y a|2+ a2 ap,(y,s)=a?- ,0) (2.7)(2.8)根据(2.5
4、)-(2.8)和Schauders估计，可得 (2.9) (2.10)期中CK为与a和at无关的常数。我们断言，存在一个正的常数c，使得( a)s(0,0)c ( a)s(0,0)c (2.11)故得：M-q-1(t)M(t)C，两边同时从t到T求积分，得M(t)C(T-t)- (2.12)由(1.3)和(2.12)得C1(T-t)-M(t)C2(T-t)- (2.21)N(t)ln(C4(Tt)-) (2.13)又由(2.4)可得M(t)M(z)+C(Tz)epN(t)+C*M(t),ztT (2.14)令z=A(t)(A1)T,其中显然ztT,我们可以取充分靠近T的t，使得C*=C*1/4,则(2.14)变为M(t)4M(z)+4C(Tz)epN(T).因此epN(t)=(T-t)-(Tt)-.即N(t)ln(C3(Tt)-). (2.15) 综合(2.12)，(2.13)和(2.15)的结论，我们完成了定理2.1的证明.（作者单位：江西财经职业学院）
