《八年级数学.培优专题13 三角形的基本知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学.培优专题13 三角形的基本知识（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 专题13 三角形的基本知识阅读与思考三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.应熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】 在ABC中，A=50，高BE，CF交于O，则BOC=_.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的
2、图形多样性.【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）A.17cm B.5cm C.5cm或17cm D.无法确定（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.【例3】 如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，若BDC=140，BGC=110，求A的大小.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：运用凹四边形的性质计算.【例4】 在ABC中，三个内角的度数均为正数，且ABC，4C7A，求B的度数.（北京市竞赛试题）解题思路：把A，C用B的代数式表示，建立关
3、于B的不等式组，这是解本题的突破口.【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在
4、这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.能力训练A级1.设，是ABC的三边，化简=_.2.三角形的三边分别为3，8，则的取值范围是_.3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_（按角分类)三角形.4.如图，A+B+C+D+E的度数为_. （“缙云杯“试题） （第4题） （第5题） （第6题）5.如图，已知ABCD，GM，HM分别是AGH，CHG的角平分线，那么GMH=_. （第7题） （第9题） 6.
5、如图，ABC中，两外角平分线交于点E，则BEC等于（ ）A. B.C. D.7.如图，在ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FHBE交BD于G，交BC于H.下列结论：DBE=F；2BEF=BAF+C；F=（BAC-C）；BGH=ABE+C.其中正确的是（ ）A. B. C. D.8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ）A.6个 B.7个 C.8个 D.9个9. 如图，将纸片ABC沿着DE折叠压平，则（ ） A.A=1+2 B.A=（1+2）C.A=（1+2） D.A=（1+2）（北京市竞赛试题）10.一个三角形的周长是偶数
6、，其中的两条边分别是4和1 997，则满足上述条件的三角形的个数是（ ）A.1个 B.3个 C.5个 D.7个（北京市竞赛试题）11.如图，已知3=1+2，求证：A+B+C+D=180.（河南省竞赛试题） 12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，ABC=24，ADC=42.（1）BAD和BCD的角平分线交于点M（如图1），求AMC的大小.（2）点E在BA的延长线上，DAE的平分线和BCD平分线交于点N（如图2），求ANC. 图1 图2 13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上.（1）证明：AB+AEDB+DE
7、；（2）证明：AB+ACDB+DC；（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题） B级1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的个数有_个.（“祖冲之杯”邀请赛试题）2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成_个没有公共部分的小三角形.3.ABC中，A是最小角，B是最大角，且有2B=5A，若B的最大值是，最小值是，则_.（上海市竞赛试题）4.如图，若CGE=，则A+B+C+D+E+F=_.（山东省竞赛试题
8、）（第4题） （第5题）5.如图，在ABC中，A=96，延长BC到D，ABC与ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是（ ）A.3 B.5 C.8 D.19.26.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，AEB，AFD的平分线交于点P.A=64，BCD=136，则下列结论中正确的是（ ） EPF=100； ADC+ABC=160； PEB+PFC+EPF=136； PEB+PFC=136.A. B. C. D.7.三角形的三角内角分别为，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. （重庆市竞赛试题）8.已知周长小于15
9、的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个（山东省竞赛试题）9.不等边ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.（第三十二届美国邀请赛试题）10.设，均为自然数，满足且，试问以，为三边长的三角形有多少个？11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数.（汉城国际数学邀请赛试题）12.如图1，A为轴负半轴上一点，B为轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.（1）求BCD的面积；（2）如图2，若BCO=BAC，作AQ平分BAC交轴于P，交BC于Q. 求证：CPQ=CQP；（3）如图3，若ADC=DAC，点B在轴正半轴上运动，ACB的平分线交直线AD于E，DFAC交轴于F，FM平分DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论. 图1 图2 图313.如图1，.且，满足.图1 图2（1）求A，B的坐标；（2）C为轴正半轴上一动点，D为BCO中BCO的外角平分线与COB的平分线的交点，问是否存在点C，使D=COB.若存在，求C点坐标；（3）如图2，C为轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交轴于E，CAB和CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生变化？若不变求其值；若变化，求其范围.
