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1、第十章整式乘法与因式分解综合指导河北省 刘新民 一、复习目标1掌握幂的运算性质、整式乘法法则和因式分解的定义与方法，通过观察、归纳、实验、概括、逆向思维等，发展对问题的探究能力；2能够运用幂的运算性质、整式乘法法则和乘法公式正确、合理地进行有关计算；理解整式乘法和因式分解的关系，能用提取公因式法和公式法对多项式进行因式分解；3了解零次幂和负整数次幂的意义，会用负整数次幂对一些较小的数用科学记数法加以表示；4通过幂的运算性质的归纳概括过程、整式乘法法则的归纳概括过程等，发展归纳思维和推理能力，通过从整式乘法法则到乘法公式的推导过程，发展演绎思维和推理能力，通过对整式乘法和多项式的因式分解的关系的
2、认识，发展从正、逆两个方面认识事物的能力。整 式 的 乘 法幂的运算性质同底数幂相乘：单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式单项式乘多项式幂的乘方：积的乘方：用分配律转化用分配律转化提公因式法公式法因式分解逆用乘法分配律逆用乘法公式二、知识结构网络三、基础知识回顾1幂的运算性质（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为：（为正整数）。（2）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用字母表示为：（都是正整数）。（3）积的乘方的法则：积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母表示为：（是正整数）。（4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不
3、变，指数相减。用字母可表示为：（，是正整数）。（5）零指数幂的意义：（），即任何非零数的0次幂都等于1。（6）负整数指数幂的意义：（，是正整数），即何非零数的次幂，都等于这个数的次幂的倒数。2整式的乘法（1）单项式乘以单项式的法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式。（2）单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律用单项式的去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。（3）多项式乘以多项式的法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。3乘法公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两
4、个数的平方差，用公式表示为。平方差公式的结构特征是：公式左边的两个二项式中，一项完全相同，一项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。（2）完全平方公式：两数和（或差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍，用公式表示为。完全平方公式的结构特征是：两个公式的左边是一个二项式的完全平方，二者仅有一个“符号”不同,右边都是二次三项式,其中有两项是左边二次项中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍, 二者也只有一个“符号”不同.4因式分解（1）定义：因式分解指的是把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式。（2）因式分解与整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是互逆变形，因式
5、分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，虽然它们都是恒等变形，但却是互逆的两个过程。鉴于因式分解与整式乘法是互逆变形，因此可将因式分解的结果运用整式乘法还原成多项式，以检验因式分解的结果是否正确。（3）因式分解的方法：提公因式法和公式法。（4）因式分解的一般步骤：在分解因式时，要注意观察题目本身的特点，按一定的思维顺序正确选择因式分解的方法。给一个多项式，首先看是否有公因式，有公因式先提取公因式（公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；公因式的字母取各项中都含有的字母，并且相同字母的指数取次数最低的），再看这个多项式是几项式，如果是二项式，就考虑能否运用平方差公式；如果是三
6、项式，就考虑能否运用完全平方公式分解因式。需要注意的是在提取公因式后，要看括号内剩下的式子能否运用公式接着分解，需要强调的是，一定要分解到每一个因式都不能分解为止。四、重点、难点提示重点：本章的重点是整式的乘除法，尤其是其中的乘法公式，以及用提公因式法和公式法分解因式。难点：本章的难点是乘法公式以及整式乘法和因式分解的区别与联系。五、思想方法总结1由特殊到一般的思想本章中许多结论的得出都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共性，再加以推广，最后概括出一般化的结论，如同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方的性质都是由特殊到一般的探讨过程得出的。2转化思想在本章的学习和研究中，多次用到了转化思想
7、，例如：单项式乘以单项式问题，要转化为有理数乘法；同底数幂相乘问题、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，都要转化为单项式乘法等。3逆向变换思想本章所学的公式和法则均既可正向运用，又可逆向运用，学会逆用公式或变式运用公式，往往能使运算简便。4数形结合思想“数无形，少直观，形无数，难入微”。对于本章中一些整式乘法的法则及乘法公式的理解，若借助于几何图形可以起到直观、形象的效果，能使学生从数、形两方面更深一层的理解和记忆。六、注意事项1要正确区分幂的底数，如的底数是，而的底数则是；2要注意区分各种运算法则，尤其是幂的运算性质，不要将幂的乘方与积的乘方相混淆，注意省略的指数是1，而不是0；3幂的运算性
8、质成立的条件是，而同学们往往忽视这一条件。 4明确公式的结构特征是正确运用公式的前提条件，只有明确了结构特征，才能在不同的情况下正确运用公式。乘法公式中的字母可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。明确了这一点，就可以在更广的范围内应用乘法公式，例如在计算时，可将视为公式中的，将视为公式中的，再用平方差公式展开。 5提公因式的依据是乘法的分配律，提公因式时，容易出现“漏项”的错误，检查是否漏项的方法，最好是用单项式乘以多项式的法则乘回去，进行验证。也可以看看提公因式后，括号内的项数是否与原多项式的项数一致，如果项数不一致，就说明漏项了。6因式分解必须是恒等变形，因式分解必须分解到每个多项式因式
9、都不能再分解为止。七、典型例题分析（一）考查幂的有关运算例1下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 分析：因为A是幂的乘方运算，指数应该相乘，不能相加，即，所以A错误；B是同底数幂相乘，指数应相加，即，所以B错误；积的乘方等于积中各因式乘方的积，所以，故C正确，而D不正确。解：选C。例2计算 得（ ）（A）1 （B）-1 （C） （D）分析：逆用积的乘方法则得.解：选A.例3已知，求的值分析：解这种有关指数方程的基本方法是：将左右两边变形为两个幂相等的等式，且左右两边幂的底数相同，再根据两个底数相同的幂相等，其指数必定相等列出方程，解这个方程即可。注意到4是2的平方，左边可写成关于2的幂
10、的形式，右边也可写成2的幂的形式，利用幂的性质就能解决此问题。解：，又，即。（二）考查整式的乘法运算例4若,求的值.分析：先利用单项式乘以单项式的法则求出，再由指数对应相等，建立方程组，即可求出的值。解：因为，又因，所以，故，解得，所以。例5有这样一道题：“计算：的值，其中。甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？ 分析：这是一道说理性试题，既然把“”错抄成了“”，但计算结果正确，于是可以猜测此式子化简后与的值无关。所以这时应从式子的化简入手，揭开它的神秘面纱。解：因为，即原式化简后得22，所以式子的值与的取值无关，故把“”错抄成“”计算结果也是正确的。（三）考查乘
11、法公式例6如下图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_.分析：这是一道与乘法公式相关的创新题，题目借助于图形的分拆与拼接，通过图形面积的不同表示形式，验证了乘法公式。从左图中可知阴影部分的面积是两个正方形的面积之差，即，由右图可知梯形的上底是，下底是，高为，所以梯形的面积为，根据阴影部分的面积相等，可得乘法公式。解：验证的乘法公式是。例7已知，求的值。分析：完全平方公式的主要变形我们要熟悉：；。这道题用可以解决。解：由完全平方公式，得，所以。因为，所以。例8计算：.分析：直接计算显然非常繁琐易错，观察该式中四个
12、因式的规律，如果再增添一个因式便可连续应用平方差公式，问题就能迎刃而解。解：（四）考查因式分解的意义与方法例9下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )（A） （B）（C） （D）分析：解答此类题目要充分理解分解因式的定义和具体要求。显然（A）属于整式乘法，（B）只是分解了局部，没有完全化成整式的积的形式，而（D）虽然等式右边是一个多项式，左边是整式的积的形式，但由平方差公式可知是分解的结果，所以式子在变形过程中丢掉了“”，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式。解：选（C）。例10已知x+y=1，求的值. 分析：通过已知条件不能求出、的值，所以要考虑把所求式子进行变形，构造出的整体形式
13、，因此观察系数的特点，可考虑将所求的式子进行因式分解。解：。例11为整数，试证明的值一定能被12整除。分析：要证明的值能被12整除，只要将此式分解因式，使12成为其中的一个因式即可。解：，因为为整数，所以也为整数，故能被12整除，即的值一定能被12整除。（五）考查完全平方式例12多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_（填上一个你认为正确的即可）分析：根据完全平方公式的特点，若表示了的话，则有，所以，缺少的一项为，此时，；如果认为表示了的话，则有，所以，缺少的一项为，此时。从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面提到的多项式，
14、以可以是单项式。注意到，所以，保留二项式中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是或者，此时有，或者。解：所加上的单项式可以是、或者。（六）考查归纳探究的能力例13在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是： =0，=18，=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式，取=10，=10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)分析：这是一道在分解因式的基础上设计的与密码有关的创新题，解决这个问题，必须理解密码的转换方法。要得到密码，只需将分解因式即可。因为或等于或等于，取，时，所以产生的密码为101030，或103010，或301010。解：101030，或103010，或301010。例14（2006，广东）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？平方答案 （1）填写表内空格：输入32-2输出答案0 （2）你发现的规律是_.(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性。 分析：将2、分别代入程序计算，可以发现计算结果都为0，于是可猜想无论输入任何数，计算结果都为0，再根据整式的运算验证即可。解：（1）0，0，0；
