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1、牛顿定律运用中的临界和极值问题 一 临界问题 1 临界状态 物体的运动状态即将发生突变而还没有变化的状态 可理解为 恰好现象 或 恰恰不出现 的状态 平衡物体 a 0 的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间 动态物体 a 0 的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间 临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态 2 临界条件 加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变 物体处于临界状态 必然隐含着某些力 如弹力 摩擦力等 的突变 抓住这些力突变的条件 是我们解题的关键 3 处理办法 1 做好受力分析 状态分析和运动过程的分析建立运动的情景 抓住运动过程中的 转折点 2 寻找临界状态所隐含的条件
2、 二 极值问题 1 运用矢量法则讨论某变力的最小值 2 利用三角函数知识讨论最大值或最小值 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 1 小车在水平路面上加速向右运动 一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线 与竖直方向成30度角 把小球系于车上 求下列情况下 两绳的拉力 1 加速度a1 g 3 2 加速度a2 2g 3 分析 1 平衡态 a 0 受力分析 2 a由0逐渐增大的过程中 开始阶段 因m在竖直方向的加速度为0 角不变 T1不变 那么 加速度增大 即合外力增大 OA绳承受的拉力T2必减小 当T2 0时 m存在一个加速度a0 如图2所示 物体所受的合外力是T1的水平分力 当a a0时 a
3、增大 T2 0 OA绳处于松弛状态 T1在竖直方向的分量不变 而其水平方向的分量必增加 因合外力增大 角一定增大 设为 受力分析如图3所示 当T2 0时 如图2所示 F0 tg mgma0 tg mga0 tg g 当aa0时 T2 0 松弛状态 T1sin ma 1 T1cos mg 2 tg a g 如图3 要点 1 通过受力分析和运动过程分析找到弹力发生突变的临界状态以及此状态所隐含的具体条件 2 弹力是被动力 其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其它力来确定 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 2 质量m 1kg的物体 放在 370的斜面上 物体与斜面的动摩擦因数 0 3 要是
4、物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动 则其加速度多大 分析 讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是 1 抓住静摩擦力方向的可能性 2 物体即将由相对静止的状态即将变为相对滑动状态的条件是f N 最大静摩擦力 本题有两个临界状态 当物体具有斜向上的运动趋势时 物体受到的摩擦力为最大静摩擦力 当物体具有斜向下的运动趋势时 物体受到的摩擦力为最大静摩擦力 当物体具有斜向下的运动趋势时 受力分析如图2所示 sin300N1 f1cos300 ma0 1 f1sin300 N1cos300 mg 2 f1 N1 3 a01 要点 1 最大静摩擦力是物体即将由相对静止变为相对滑动的临界条件 2 注意静摩
5、擦力方向的可能性 3 重视题设条件 tg 和 tg 的限止 当物体具有斜向上的运动趋势时 受力分析如图3所示 N2sin300 f2cos300 ma0 1 N2cos300 mg f2sin300 2 f2 N2 3 a02 求出加速度的取值范围 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 3 如图所示 传送带与地面的倾角为 370 从A到B的长度16m 传送带以10m s的速率逆时针方向转动 在传送带上端无初速地放一个质量为m 0 5kg的物体 它与传送带之间的动摩擦因数为0 5 求物体从A到B所需的时间是多少 sin370 0 6cos370 0 8g 10m s2 分析 tg 物体的初速
6、为零 开始阶段 物体速度小于传送带的速度 物体相对于传送带斜向上运动 其受到的滑动摩擦力斜向下 下滑力和摩擦力的合力使物体产生加速度 物体做初速度为零的匀加速运动 如图2所示 当物体与传送带速度相等的瞬时 物体与带之间的摩擦力为零 但物体在下滑力的作用下仍要加速 物体的速度将大于传送带的速度 物体相对于传送带向斜向下的方向运动 在这一时刻摩擦力方向将发生突变 摩擦力方向由斜向下变为斜向上 物体的下滑力和所受的摩擦力的合力使物体产生了斜向下的加速度 由于下滑力大于摩擦力 物体仍做匀加速运动 如图3所示 要点 1 从运动过程的分析中找临界状态 2 滑动摩擦力方向的突变是本题的关键 3 tg 和 t
7、g 的区别 思考 若 tg 物体将怎样运动呢 例题3全解 解 因 tg 物体的初速为零 开始阶段 物体相对于传送带斜向上运动 其受到的滑动摩擦力斜向下 下滑力和摩擦力的合力使物体产生加速度 物体做初速度为零的匀加速运动 如图2 根据牛顿第二定律 mgsin mgcos ma1a1 g sin cos 10 0 6 0 5 0 8 m s2 10m s2 物体的速度与传送带速度相等需要的时间为t1 v a1 10 10s 1s 由于 tg 物体在重力的作用下继续加速 当物体的速度大于传送带的速度时 传送带给物体一斜向上的滑动摩擦力 此时受力情况如图3所示 根据牛顿第二定律 得Mgsin mgco
8、s ma2a2 mgsin mgcos 10 0 6 0 8 0 5 m s2 2m s2设后一阶段物体滑至底端所用的时间为t2 由运动学公式得 L S vt2 1 2a2t22解得 t2 1s t2 11s舍去 所以 物体由A到B所用时间为t1 t2 2s 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 4 如图所示 两块质量分别m1是m2和 用劲度系数为k的轻弹簧连在一起 放在水平面上 将木块1下压一段距离后释放 它在做简谐运动 在运动过程中 木块2始终没有离开水平面 且对水平面的最小压力为零 则木块1的最大加速度的大小是多大 木块2对水平面的最大压力是多大 分析 以物块1为研究对象 弹簧对木块
9、1的弹力和物块1的重力的合力是物块1做简谐运动的恢复力 弹簧弹起的初阶段 弹簧处于被压缩状态 向上的弹力大于重力 物块1向上做变加速运动 加速度逐渐减小 其方向竖直向上 当弹力等于重力时 物块1的加速度为零 而速度最大 平衡位置 然后 弹簧处于伸长状态 物块1受到的弹力向下 弹力逐渐增大 加速度逐渐增大 达到最高点时 加速度最大 方向竖直向下 当物块1下落至最低点时 物块1的加速度也达到最大值 但方向竖直向上 以物块2为研究对象 根据题设条件可知 当物块1达到最高点时 物块1受到的向下的弹力最大 此时 物块2受到的向上的弹力也最大 使地面对物块2的支持力为零 当物块1落至最低点时 其加速度与最
10、高点的加速度等值反向 弹簧对物块1的弹力 方向向上 此时 弹簧对物块2的弹力也最大 方向竖直向下 因此 木块2对地面的压力达到最大值 要点 1 弹力的突变是本题的临界条件 2 简谐振动的过程分析是本题的疑难点 例4全解 解 1 研究物块1上升的过程 以物块1为研究对象 其受力分析和运动过程分析如图1所示 物块1在最高点A处 加速度最大 且方向竖直向下 F1 m1g mamF1最大 以物块2为研究对象 其受力分析如图2所示 F1 最大时 N 0 即F1 m2g因F1 F1所以 m1g m2g m1am 2 研究物块1下落的过程 物块1落至最低点B处 其受到向上的弹力最大 加速度达到最大值 但方向
11、竖直向上 简谐振动的对称性 如图1所示 F2 m1g m1amF2 m1g m1am 对物块2受力分析 如图3所示 N m2g F2 2 m1 m2 g 根据牛顿第三定律 物块2对地面的压力的大小为2 m1 m2 g 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 5 如图所示 在水平面上放一质量为m的物体 与水平面间的动摩擦因数为 现用力F拉物体 1 如果要是物体做匀速运动 求拉力F的最小值 2 如果要是物体以加速度a做匀加速运动 求拉力F的最小值 分析 1 物理方法 物体受力分析如图所示 图2 如果F变化 N随之改变 f也随之改变 但是 f N合力T的方向不变 因f N 如图3所示 mg的大小方
12、向均不变 T的方向不变 当F与T垂直时 F的值最小 如图4所示 F的最小值为mgsin 而tg f N 四力平衡转化为三力平衡 数学方法 如图2 正交分解 Fcos f 0N Fsin mgf mg Fsin 联立 用两角和公式求极值 方法略 2 Fcos f maN Fsin mgf mg Fsin 联立 方法同上 但不能用图解法 求极值的方法 1 图解法 2 函数法 课堂练习 1 如图1所示 物体A放在物体B上 物体B放在光滑的水平面上 已知mA 6kgmB 2kg A B之间的动摩擦因数 0 2 A物体受到一个水平向右的拉力F的作用 为保证A B相对静止 求力F的取值范围 F 0 2 如
13、图2所示 长为L 质量为M的木板A静止在光滑的水平桌面上 有一质量m的小木块B以水平速度V0恰好落在木板A的左端 木块B与木板A间的摩擦系数为 木块B可视为质点 求 如果最后B恰好到达A的右端不落下来 则V0的值应是多大 小结 一 临界状态 某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态叫临界状态 在物体的运动过程中指物体的运动状态即将发生突变而还没有变化的瞬间 或弹力 摩擦力等因素发生突变的时刻 临界状态也可理解为 恰好现象 或 恰恰不出现 的状态 二 处理办法 1 找临界状态 1 做好受力分析 运动过程分析和状态分析 抓运动过程中的 转折点 2 利用假设法讨论 假设某命题成立 推理或判断物体的
14、状态是否会发生突变 2 分析隐含条件 1 弹力的突变 2 摩擦力的突变 三 极值问题 1 物理方法 对于动态平衡的物体可以运用平行四边形法则或三角形法则进行定性分析 对于变速运动的物体 不能运用此方法 2 数学方法 利用正交分解法 列出解析式 借助数学工具求极值的方法求解 这是一种定量分析的方法 下面 连续播放本节课的10张幻灯片 请做好准备 牛顿定律运用中的临界和极值问题 一 临界问题 1 临界状态 物体的运动状态即将发生突变而还没有变化的状态 可理解为 恰好现象 或 恰恰不出现 的状态 平衡物体 a 0 的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间 动态物体 a 0 的状态即将发生突变而还没有
15、变化的瞬间 临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态 2 临界条件 加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变 物体处于临界状态 必然隐含着某些力 如弹力 摩擦力等 的突变 抓住这些力突变的条件 是我们解题的关键 3 处理办法 1 做好受力分析 状态分析和运动过程的分析建立运动的情景 抓住运动过程中的 转折点 2 寻找临界状态所隐含的条件 二 极值问题 1 运用矢量法则讨论某变力的最小值 2 利数学方法讨论最大值或最小值 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 1 小车在水平路面上加速向右运动 一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线 与竖直方向成30度角 把小球系于车上 求下列情况下
16、两绳的拉力 1 加速度a1 g 3 2 加速度a2 2g 3 分析 1 平衡态 a 0 受力分析 2 a由0逐渐增大的过程中 开始阶段 因m在竖直方向的加速度为0 角不变 T1不变 那么 加速度增大 即合外力增大 OA绳承受的拉力T2必减小 当T2 0时 m存在一个加速度a0 如图2所示 物体所受的合外力是T1的水平分力 当a a0时 a增大 T2 0 OA绳处于松弛状态 T1在竖直方向的分量不变 而其水平方向的分量必增加 因合外力增大 角一定增大 设为 受力分析如图3所示 当T2 0时 如图2所示 F0 tg mgma0 tg mga0 tg g 当aa0时 T2 0 松弛状态 T1sin ma 1 T1cos mg 2 tg a g 如图3 要点 1 通过受力分析和运动过程分析找到弹力发生突变的临界状态以及此状态所隐含的具体条件 2 弹力是被动力 其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其它力来确定 牛顿定律运用中的临界和极值问题 例题分析 2 质量m 1kg的物体 放在 370的斜面上 物体与斜面的动摩擦因数 0 3 要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动 则其加速度多大 分析
