《简明微积分 教学课件 作者 第三版 李亚杰课件教案 0203 函数的微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简明微积分 教学课件 作者 第三版 李亚杰课件教案 0203 函数的微分（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节微分 一 微分的概念二 微分的几何意义三 微分的运算法则四 微分在近似法则中的应用 例1设有一个边长为的正方形金属片 受热后它的边长伸长了 问其面积增加了多少 一 微分的概念 受热后 当边长由伸长到时 面积相应的增量为 从上式可以看出 可分成两部分 这表明 当很小时 2 的绝对值要比 1 的绝对值小得多 可以忽略不计 即可用 2 作为的近似值 定义1设函数在点的某邻域内有定义 如果函数在点处的增量可以表示为 其中是与无关的常数 是当时比高阶的无穷小 则称函数在点处可微 称为在点处的微分 记作 或 于是 由此引进函数微分的概念 导数 一种比值的极限 即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋
2、于零时的极限 微分 函数增量的近似值 即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值 那么 导数与微分之间存在什么样的联系呢 于是 可微函数 如果函数在区间内每一点都可微 则称该函数在内可微 或称函数是在内的可微函数 此时 函数在内任意一点处的微分记为 即 由此有 因此 通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中 把研究导数和微分的有关内容称为微分学 因此 微分与导数紧密相关 求出了导数立即可得微分 求出了微分亦可得导数 例2求函数当 时的微分 解函数在任意点的微分 于是 例3半径为的圆的面积为当半径增大时 求圆面积的增量与微分 面积的微分为 当自变量有增量时 切线的纵坐标相应地有增量 二 微分的几何意义 过曲线上一点作切线 设的倾角为 则 当有增量时 曲线在对应点处的切线的纵坐标的增量 因此 微分几何上表示 用近似代替 就是用曲线在点处的切线纵坐标的增量近似代替曲线的纵坐标的增量 三 微分的运算法则 1 基本初等函数的微分公式 2 函数的和 差 积 商的微分运算法则 设函数 均可微 则 为常数 3 复合函数的微分法则 而 于是 设函数都是可导函数 则复合函数的微分为 解 导数为 微分为 四 微分在近似计算中的应用 这些公式都可用来求函数的近似值 若 应用可以推得一些常用的近似公式 当很小时 有 另外 于是 得 即 则
