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1、统计推断法的预备知识常用统计量及其分布样本特征数与总体特征数的关系 一 常用统计量及其分布 样本均值 样本方差 样本标准差 一 常用统计量 二 统计量的分布 1 正态分布 1 总体X服从正态分布N 2 2 标准正态分布临界值 标准正态分布的上 分位点Z Z1 Z z 1 Z 2 t分布 1 t分布临界值 t分布的上 分位点t n t n n 45 t n z Z 为标准正态分布上 分位点 t1 n t n 2 两个重要结论结论1 设总体X服从正态分布N 2 2未知 x1 x2 xn 为来自该总体的样本 则统计量 结论2 设总体X服从正态分布N 1 2 总体Y服从正态分布N 2 2 2未知 X与
2、Y独立 且X1 X2 Xn1和Y1 Y2 Yn2分别是来自总体X和Y的样本 则统计量 分别是两总体的样本均值 s12及s22分别是两总体的样本方差 n1及n2分别是两样本的容量 其中 和 3 F分布 1 F分布临界值 F分布的上 分位点F n1 n2 F n1 n2 F n1 1 n2 1 其中s12和s22分别是总体X和Y的样本方差 2 一个重要结论设总体X N 1 12 Y N 2 22 X与Y独立 且X1 X2 Xnl与Y1 Y2 Yn2分别是来自总体X和Y的样本 则统计量 F 二 样本特征数与总体特征数的关系总体X的特征数 E X D X 2样本特征数 关系 5 1统计假设检验的基本问
3、题5 2正态总体均值和方差的统计假设检验5 3单因素方差分析5 4用SPSS进行统计假设检验 第5章统计假设检验 对总体参数值提出假设 验证先前提出的假设 样本 出现矛盾 不出现矛盾 拒绝原假设 接受原假设 基本思路图 统计假设检验实例 二战期间 盟军军事指挥官需要预测德国生产的坦克数量 根据间谍和侦探信息 分析家预计1941年6月 德军生产了1550辆坦克 然而利用连续缴获的坦克数量以及统计分析预计这一数字为244量 之后证明统计学家的预测仅比实际生产的数量少了27量 更加证实了统计抽样方法的价值 在海湾战争的 沙漠风暴 行动中 也应用了相同的分析 假设检验分类 参数的检验分布的检验参数的检
4、验包括 一个正态总体 均值和方差 的假设检验两个正态总体 均值和方差 的假设检验假设检验形式 双边检验 等号成立 单边检验 不等号成立 5 1统计假设检验的基本问题 一 统计假设检验的基本思想 以双边检验为例 例5 1 已知销售发票数额服从正态分布 对该公司所在郊区的顾客来说 过去五年内平均每月销售发票数额为120美元 现抽取12份作为样本 它们的数额为下面的数据 108 98152 22111 45110 59127 46107 2693 3291 97111 5675 71128 58135 11试检验销售发票的均值是否偏离了120美元 分析 设销售发票数额为X X N 2 判断 120美
5、元 作假设 H0 0 120 零假设 H1 0 120 备择假设 在原假设H0成立的情况下的取值与 0的差异 0 应较小而事件 0 相当大 则为小概率事件 假设检验推断的依据 小概率事件原理 即 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生 未知 但知 设 0 K 为小概率事件 若给定 为很小的正数 K可由下式确定 令P 0 K 为显著性水平 t为检验统计量 于是 即 根据小概率事件原理 如果由样本的一次观察值计算的样本均值满足不等式 表明小概率事件在一次试验中居然发生了 这样我们就有理由说假设H0有问题 从而作出拒绝假设H0推断 否则 我们便作出接受假设H0的结论 2 2 1 t 2 n 1 t 2
6、 n 1 接受域 拒绝域 拒绝域 在例5 1中 112 85 s 20 80 n 12 取 0 05 则查t分布分位数表得t0 025 11 2 2010拒绝域为因此在 0 05下 接受零假设H0 认为销售发票的均值没有偏离120美元 二 统计假设检验的基本步骤 双边检验 1 作假设H0 0 零假设 H1 0 备择假设 2 选择检验假设H0的统计量 并确定其分布 3 据样本观测值计算出该统计量的值t 4 在给定的显著性水平 0 1 下 查所选统计量服从的分布表 求出临界值 t 2 n 1 5 确定拒绝域并作出判断 例5 1 已知销售发票数额服从正态分布 对该公司所在郊区的顾客来说 过去五年内平
7、均每月销售发票数额为120美元 现抽取12份作为样本 它们的数额为下面的数据 108 98152 22111 45110 59127 46107 2693 3291 97111 5675 71128 58135 11试检验销售发票的均值是否偏离了120美元 解 1 H0 0 120H1 0 120 2 T t n 1 3 112 85 s 20 80 n 12 4 取 0 05 则查t分布分位数表得t0 025 11 2 2010 5 拒绝域为因此在 0 05下 接受零假设H0 认为销售发票的均值没有偏离120美元 总结 原理 如果对总体的某种假设是真实的 那么不利于或不能支持这一假设的事件A
8、 小概率事件 在一次试验中几乎不可能发生的 要是在一次试验中A竟然发生了 就有理由怀疑该假设的真实性 拒绝这一假设 总体 某种假设 抽样 样本 观察结果 检验 接受 拒绝 小概率事件未发生 小概率事件发生 三 单边检验1 单边检验与双边检验的不同假设 右边检验 H0 0 H1 0左边检验 H0 0 H1 0拒绝域 设总体X N 2 为未知 X1 X2 Xn是来自X的样本 给定显著性水平 K K是某一常数 当H0为真时 检验 H0 0 H1 0时 因H0中的全部 都比H1中的 要小 当H1为真时 观察值往往偏大 因此拒绝域的形式为 1 t n 1 接受域 拒绝域 即t t n 1 时 拒绝H0
9、认为 0 类似地 检验 H0 0 H1 0 1 t n 1 接受域 拒绝域 即t t n 1 时 拒绝H0 认为 0 2 单边假设检验的注意事项在证实某一问题时 备则假设H1取为想加以证实的问题 在检验产品质量是否合格时 零假设H0取为合格 在技术革新或改变工艺后 检验某参数值有无显著变化 变大或变小 原假设H0总取不变大 或变小 即保守情形 备则假设是希望的结果 原假设一定要设为 或 拒绝域在图形的左侧或右侧大体上与原假设H0中的不等式开口方向一致 四 统计假设检验中的两类判断错误 第一类错误 零假设H0本是真的 而做出了否定H0判断 因此也称为 弃真错误 在管理中也称生产者的风险度 记为
10、其大小为 P 拒绝 H0真 第二类错误 零假设H0本来不真 而做出了接受H0的判断 因此也称为 取伪错误 在管理中也称为使用者的风险度 记为 其大小为 P 接受 H0不真 两类错误的关系 越大 越小 反之 越小 越大 五 统计假设检验中的P值 1 P的含义P是一个概率值 如果我们假设零假设为真 P 值是样本统计量不同于 实测值的概率 双侧检验时 P值为曲线下方小于等于检验统计值或大于等于检验统计值部分的面积 被称为观察到的 或实测的 显著性水平 左侧检验时 P 2值为曲线下方小于等于检验统计值部分的面积 右侧检验时 P 2值为曲线下方大于等于检验统计值部分的面积 2 利用P值进行决策1 双侧检
11、验若p值 不能拒绝H0 若p值 拒绝H0 2 单侧检验若p 2值 不能拒绝H0 若p 2值 拒绝H0 与 分别为样本均值和方差 给定显著性水平 关于 的检验 t检验 1 作假设 H0 0H1 0H0 0H1 0 5 2正态总体均值和方差的统计假设检验一 单样本的t检验设总体X N 2 X1 X2 Xn是来自X的样本 2未知 3 据样本观测值计算出该统计量的值t 4 在给定的显著性水平 0 1 下 查所选统计量服从的分布表 求出临界值 2 选择检验假设H0的统计量 并确定其分布 5 确定拒绝域并作出判断 对应于H0 0H1 0 对应于H0 0H1 0 对应于H0 0H1 0 1 例5 2 二 两
12、个独立样本的t检验设总体X N 1 12 总体Y N 2 22 X与Y独立 12 22未知 X1 X2 Xn1为X的样本 Y1 Y2 Yn2为Y的样本 与 1 2 分别为两样本均值和方差 1 作假设H0 1 2H1 1 2H0 0H1 0 2 选择检验假设H0的统计量 并确定其分布 3 据样本观测值计算出该统计量的值t 4 在给定的显著性水平 0 1 下 查所选统计量服从的分布表 求出临界值 5 确定拒绝域并作出判断 对应于H0 0H1 0 对应于H0 0H1 0 对应于H0 0H1 0 1 例5 3 三 两个配对样本的t检验 一般 设有n对相互独立的观测结果 X1 Y1 X2 Y2 Xn Y
13、n 令D1 X1 Y1 D2 X2 Y2 Dn Xn Yn则D1 D2 Dn相互独立 Di N D D2 1 假设 H0 D 0 H1 D 0H0 D 0 H1 D 0H0 D 0 H1 D 0 2 选择检验假设H0的统计量 并确定其分布 3 据样本观测值计算出该统计量的值t 4 在给定的显著性水平 0 1 下 查所选统计量服从的分布表 求出临界值 5 确定拒绝域并作出判断 对应于三种假设的拒绝域分别为 见p123例5 4 1 作假设H0 2 2H1 2 2H0 2 2H1 2 2 2 选择检验假设H0的统计量 并确定其分布 3 据样本观测值计算出该统计量的值F0 四 两个独立样本的F检验两个
14、独立样本的F检验的目的是利用来自两个总体的独立样本 推断两个总体的方差是否存在显著差异 5 确定拒绝域并作出判断 2 F 2 n1 n2 4 在给定的显著性水平 0 1 下 查所选统计量服从的分布表 求出临界值 2 n 1 n2 1 和 1 2 n 1 n2 1 F1 2 n1 n2 F 2 n 1 n2 1 或F 1 2 n 1 n2 1 拒绝域为 对应于H0 2 2H1 2 2 对应于H0 2 2H1 2 2 拒绝域为 F 1 n 1 n2 1 对应于H0 2 2H1 2 2 拒绝域为 F n 1 n2 1 124例5 5 5 3单因素方差分析 5 3 1方差分析的基本概念方差分析定义 检
15、验多个总体均值间差异是否显著的统计方法 方差分析常用术语 实验指标 要考察的结果 用X等表示 如智商 实验因素 影响实验指标的条件 用A等表示 如教育 因素水平 因素所处的特定状态 用Ai等表示 如教育可以取为 良好的教育A1 一般的教育A2 和 较差的教育A3 方差分析分类 单因素方差分析 只有一个因素改变 多因素方差分析 有多个因素改变 5 3 2单因素方差分析的基本原理 1 单因素方差分析的基本思路 例5 6 一位教师采用3种不同的教学方法进行教学 现在想要检查3种不同的教学方法的效果 为此随机地选取了水平相当的15位学生 把他们分成3组 每组5个人 每一组用一种方法教学 一段时间后 这
16、位教师给这15位学生进行统考 统考成绩 单位 分 见表5 2 试检验这3种教学方法的效果有没有显著差异 A1 A2 A3 实验指标X 1 提出假设实验指标 统考成绩实验因素 教学方法 一个因素 因素水平 3种不同的教学方法 个水平 看成 个正态总体 检验 3种教学方法的统考成绩均值之间是否有显著差异 在不同的教学方法下 统考成绩Xi N i 2 i 1 2 3 且各Xi相互独立 提出假设 H0 1 2 3 H1 1 2 3不全相等 单因素方差分析的一般提法设因素A有s个水平A1 A2 AS 在水平Ai i 1 2 s 下进行n n 2 次独立实验 结果如下 假设 各个水平Ai i 1 2 s 下的样本Xi1 Xi2 Xin来自正态总体N j 2 且设不同水平Ai下的样本之间相互独立 检验假设 H0 1 2 s H1 1 2 s不全相等 平方和的分解 以例5 6为例 ST 总误差平方和 随机波动引起的误差SE 因素A的不同水平所产生的误差SA 随机误差平方和SE 效应误差平方和SA 随机误差平方和 组内误差平方和 效应误差平方和 组间误差平方和 总误差平方和 平方和一般分解公式ST SE
