《高等数学电子课件自编教材 第十二章 第4节 高阶线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学电子课件自编教材 第十二章 第4节 高阶线性微分方程（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 一 二阶线性齐次方程解的结构 二 二阶线性非齐次方程解的结构 三 小结 2 第四节高阶线性微分方程 一阶线性方程 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 高阶线性微分方程情形 3 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 4 定理得证 一 二阶线性齐次方程解的结构 定理1若函数 是二阶线性齐次方程 的两个解 则 也是该方程的解 证 将 代入方程左边 得 说明 解中形式上含有两个任意常数时不一定是通解 例如 是齐次方程的解 也是齐次 方程的解 并不是通解 但是 5 定义 设 是定义在区间I上 的n个函数 若存在不全为0的常数 使得当 时有 则称这n个函
2、数在区间I上线性相关 否则称为线性无关 例如 在 上都有 故在任何区间I上都线性相关 又如 若在某区间I上 则根据二次多项式至多只有两个零点 必需全为0 可见 故 在任何区间I上都线性无关 6 两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为0的 使 线性无关 常数 思考 若 中有一个恒为0 则 必线性 相关 7 定理2若 是二阶线性齐次方程 1 的两个 线性无关特解 则 是该方程的 例如 方程 有特解 且 常数 则方程的通解为 通解 8 二 二阶线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 是相应齐次方程 2 的通解 定理3设 则 是非齐次方程的通解 证 将 代入方程左端 得 又Y中含有两个 独立任意常数 从而也是通解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 9 定理4设 分别是方程 的特解 则 是方程 的特解 设 是对应齐次方程的n个线性 无关的特解 定理5 推广 给定n阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 则非齐次方 程的通解为 10 11 设线性无关函数 都是二阶非齐次 线性方程 的解 是任意常数 则该方程的通解是 例2 提示 都是对应齐次方程的解 且线性无关 因为假设它们线性相关 则有 即 从而推出 线性相关 与已知条件矛盾 12 三 小结 主要内容 线性方程解的结构 线性相关与线性无关 13 练习题 14 15 练习题答案
