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1、一道高考题的推广225500 江苏省姜堰市外国语学校 申后坤 袁 青2004年高考北京卷数学（理科）17题：过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于A，B，（）求该抛物线上纵坐标为的点到焦点F的距离;（）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB斜率是非零常数.解：（）当时，所求距离为（）设，则，PA、PB倾斜角互补推广1：过抛物线上一定点，作两直线分别交抛物线于A、B两点，当直线PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，则推广2：过椭圆上一定点作两直线分别交椭圆于A、B两点，当直线PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，则证明：设，推广3：过双曲线上一定点作两直线分别交双曲线于A、B
2、两点，当直线PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时，则仿推广2的证明，即可证得.推广4：过不在抛物线上的一定点，作两直线分别交抛物线于A、B、C、D四点，当直线AB、CD的斜率存在且倾斜角互补时，则A、B、C、D四点共圆。证明：设直线AB的倾斜角为,则直线AB的方程为:（为参数）代入抛物线得：则同理A、B、C、D四点共圆推广：过不在二次曲线：上的一定点作两直线分别交二次曲线于M、N、P、Q四点，当两直线MN、PQ的倾斜角互补时，则M、N、P、Q四点共圆。仿照推广3的证明，即可证得.推广5：过不在抛物线上的一定点作两条直线分别交抛物线于A、B、C、D四点，当直线AB、CD倾斜角互补时，则直线AC与BD；直线AD与BC的倾斜角也互补.证明：设，直线AB与CD的倾斜角互补即 又 因而直线AC、BD倾斜角互补同理：直线AD、BC的倾斜角也互补.推广：过不在二次曲线：上的一定点P作两直线分别交二次曲线于M、N、P、Q四点，当直线MN、PQ的倾斜角互补时，则直线MP与NQ、直线MQ与NP的倾斜角互补仿照推广5的证明，即可证得
