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1、1 第十二章无穷级数 2 熟练掌握正项级数的比较审敛法 比值审敛法以及交错级数的莱布尼兹定理 1 掌握级数收敛与发散的概念和性质 3 知道函数项级数的收敛及和函数的概念 4 熟练掌握幂级数的收敛半径 收敛区间 收敛域的求法 5 知道函数的泰勒级数及函数泰勒级数收敛到该函数的充要条件 2 6 熟练掌握常见函数的麦克劳林级数的展开式及其收敛域 并能够应用这些函数的展开式将其它函数间接地展开成幂级数 会借助于这些函数的展开式求某些幂级数的和函数以及相关级数的和 7 熟练掌握傅里叶级数的收敛定理 并能够准确写出傅里叶级数的和函数 会将定义在各种区间类型上的函数展开成傅里叶级数 3 1 常数项级数 级数
2、的部分和 定义 级数的收敛与发散 4 性质1 级数的每一项同乘一个不为零的常数 敛散性不变 性质2 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3 在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和 级数收敛的必要条件 收敛级数的基本性质 5 常数项级数审敛法 正项级数 任意项级数 1 2 4 充要条件 5 比较法 6 比值法 7 根值法 4 绝对收敛 5 交错级数 莱布尼茨定理 3 按基本性质 一般项级数 4 绝对收敛 6 定义 2 正项级数及其审敛法 审敛法 1 比较审敛法 7 2 比较审敛法的极限形式 8 9 定义正 负项相间的级数称为交错级数 3 交错
3、级数及其审敛法 10 定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 4 任意项级数及其审敛法 11 5 函数项级数 1 定义 2 收敛点与收敛域 12 3 和函数 13 1 定义 6 幂级数 14 2 收敛性 15 推论 16 定义 正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 17 a 代数运算性质 加减法 其中 3 幂级数的运算 18 乘法 其中 除法 19 b 和函数的分析运算性质 20 7 幂级数展开式 1 定义 21 2 充要条件 3 唯一性 22 3 展开方法 a 直接法 泰勒级数法 步骤 b 间接法 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式 23 4 常见函数展开式 24 25 1 三角函数系 三角函数系 8 傅里叶级数 26 2 傅里叶级数 定义 三角级数 27 其中 称为傅里叶级数 28 3 狄利克雷 Dirichlet 充分条件 收敛定理 29 4 正弦级数与余弦级数 30 31 奇延拓 5 周期的延拓 32 偶延拓 33
