《高等数学 教学课件 作者 经管类 郑玫课件 新经济数学 第5章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 教学课件 作者 经管类 郑玫课件 新经济数学 第5章（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节不定积分的概念与基本积分公式一 不定积分的概念二 不定积分的性质三 基本积分公式 第五章不定积分 5 1不定积分的概念与基本积分公式 一 不定积分的概念1 原函数定义1 设是定义在区间上的一个函数 如果是区间上的可导函数 并且对任意的均有则称是在区间上的一个原函数 5 1不定积分的概念与基本积分公式 定理1 原函数存在定理 如果函数在区间上连续 则在区间上一定存在原函数 即一定存在区间上的可导函数 使得对任意 均有 5 1不定积分的概念与基本积分公式 2 不定积分定义2 函数在区间上的全体原函数称为函数在区间上的不定积分 记为 即若 则其中 记号称为积分号 称为被积函数 称为被积表达式
2、称为积分变量 称为积分常数 C称为积分常数不可丢 3 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 的积分曲线 补例1 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有 因此所求曲线为 二 不定积分的性质 三 基本积分表 k为常数 或 或 补例2 求 解 原式 补例3 求 解 原式 第二节不定积分的计算一 直接积分法二 第一类换元积分法三 第二类换元积分法四 分部积分法五 积分表的使用 第五章不定积分 5 2不定积分的计算 一 直接积分法直接利用不定积分的性质和基本积分公式 或先对被积函数进
3、行恒等变形 再利用不定积分性质和基本积分公式来求出不定积分的方法 叫做直接积分法 例1 求解 二 第一类换元法 定理1 则有换元 公式 也称配元法 即 凑微分法 补例1 求 解 令 则 想到公式 补例2 求 想到 解 直接配元 补例3 求 解 类似 补例4 求 解 原式 常用的几种配元形式 万能凑幂法 补例5 求 解法1 解法2 两法结果一样 补例6 求 解 常用简化技巧 1 分项积分 2 降低幂次 3 统一函数 利用三角公式 配元方法 4 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差 分式分项 利用倍角公式 如 三 第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则得第二类换
4、元积分法 难求 定理2 设 是单调可导函数 且 具有原函数 则有换元公式 补例1 求 解 令 则 原式 补例2 求 解 令 则 原式 常用基本积分公式的补充 补例3求 解 原式 令 由导数公式 积分得 分部积分公式 或 1 v容易求得 容易计算 四 分部积分法 补例1 求 解 令 则 原式 思考 如何求 提示 令 则 原式 补例2 求 解 令 则 原式 补例3 求 解 令 则 原式 补例4 求 解 令 则 原式 再令 则 故原式 说明 也可设 为三角函数 但两次所设类型 必须一致 思考 下述运算错在哪里 应如何改正 得0 1 答 不定积分是原函数族 相减不应为0 求此积分的正确作法是用换元法
5、积分计算比导数计算灵活复杂 为提高求积分 已把常用积分公式汇集成表 以备查用 积分表的使用 1 注意公式的条件 2 注意简单变形的技巧 注 很多不定积分也可通过Mathematica Maple 等数学软件的符号演算功能求得 的效率 五 积分表的使用 补例1 求 解 补例2 求 解法1 令 则 原式 本章小结 一 主要内容1 不定积分的概念与性质 1 原函数的概念 若或 则称是在区间上的一个原函数 2 不定积分的定义 的不定积分就是它的全体原函数 即若 则 3 不定积分的性质 本章小结 4 不定积分的几何意义 积分曲线族2 不定积分的基本积分公式 见教材 3 不定积分的计算 1 直接积分法 2 第一类换元积分法 凑微分法 3 第二类换元积分法 简单根式代换 三角代换 4 分部积分法 5 积分表的使用 本章小结 二 重 难点内容1 重点 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法与分部积分法 2 难点 换元积分法与分部积分法
