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1、1 高等数学高等数学 高中公式高中公式 三角函数公式三角函数公式 和差角公式和差角公式 和差化积公式和差化积公式 sin sincoscossin cos coscossinsin 1 1 tgtg tg tgtg ctgctg ctg ctgctg sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos 2sinsin 22 积化和差公式积化和差公式 倍角公式倍角公式 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 2 2
2、2 2 22 2 2 2 3 3 3 2 2tan sin22sincos 1 tan cos22cos1 1 2sin 1 tan cossin 1 tan 21 2 2 12 sin33sin4sin cos34cos3cos 3 3 1 3 tgctg tgctg tgctg tgtg tg tg 半角公式半角公式 1 cos1 cos sin cos 2222 1 cos1 cossin 21 cossin1 cos 1 cos1 cossin 21 cossin1 cos tg ctg 11 V SH V SH V H S S 33 SS 棱柱棱锥棱台 球的表面积 4 R2 球的体积
3、 3 4 3 R 椭圆面积 ab 椭球的体积 4 3 abc 第第 1 章章 极限与连续极限与连续 1 1 集合 映射 函数集合 映射 函数 空集 子集 有限集 无限集 可列集 积集 区间 邻域 上界 下界 上有界集 下有界集 无界集 上确界 下确界 确界存在定理 凡有上 下 界的非空数集必有有限的上 下 确界 映射 象 原象 定义域 值域 满映射 单映射 双射 函数 自变量 因变量 基本初等函数 1 2 数列的极限数列的极限 性质 1 唯一性 收敛数列的极限必唯一 2 有界性 收敛数列必为有界数列 3 子列不变性 若数列收敛于 a 则其任何子列也收敛于 a 注1 一个数列有若干子列收敛且收敛
4、于一个数 仍不能保证原数列收敛 注2 若数列 xn 有两个子列 xp xq 均收敛于 a 且这两个子列合起来 就是原数列 则原数列也收敛于 a 注3 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法 即用其逆否命题 若能从 该数列中选出两个具有不同极限的子列 则该数列必发散 4 对有限变动的不变性 若数列 xn 收敛于 a 则改变 xn 中的有限项所 得到的新数列仍收敛于 a 5 保序性 若lim lim nn nn xayb 且 aN 时 有 xnN 时 xn yn zn 且 lim n xn lim n zn a 则 lim n yn a 2 单调收敛原理 单调有界数列必收敛 注 任何有界的数列必存
5、在收敛的子数列 3 柯西收敛准则 数列 xn 收敛的充要条件是 对于任意给定的正数 都存 在正整数 N 使得当 m n N 时 有 xm xn 0 0 x x 0 o U x 有 f x f x 0 0 时 x0必为 f x 的极小 大 值点 3 设函数 f x 在点 x0处有 n 阶导数 且 1 000 0 n f xf xfx 但 0 0 n fx 则 i 当 n 为偶数时 f x 在点 x0处取极值 当 0 0 n fx 时 取极小值 当 0 0 n fx 时取极大值 ii 当 n 为奇数时 f x0 不是极值 3 4 函数作图函数作图 定理 设函数 f x 在闭区间 a b 上连续 在
6、开区间 a b 内可导 则 f x 在 a b 上是凸 凹 函数的充要条件是 1 f x 在开区间 a b 内单调递减 增 2 f x1 1 x2 f x1 1 f x2 0 1 3 f x0 0 若函数 f x 在点 x0处凹凸性相反 则点 x0称为 f x 的拐点 拐点的必要条件 f x0 0 或 f x0 不存在 拐点的充要条件 f x 经过时变号 渐近线 1 垂直渐近线 x a 是垂直渐近线 0 lim xa 或 0 lim xa 3 2 斜渐近线 f x ax b lim lim xx f x abf xax x 或 lim lim xx f x abf xax x 水平渐近线为其特
7、例 函数作图的步骤 1 确定函数的定义域 2 观察函数的某些特性 奇偶性 周期性等 3 判断函数是否有渐近线 如有 求出渐近线 4 确定函数的单调区间 极值 凹凸区间 拐点 并列表 5 适当确定一些特殊点的函数值 6 根据上面提供的数据 作图 第第 4 章章 积分积分 4 1 不定积分不定积分 4 1 1 基本积分表基本积分表 1 111 ln 1ln sincoscossin tanln cos cotln sin secln sectan cscln csccotln csccotln tan xx x dxxCdxxCa dxaC xa xdxxCxdxxC xdxxCxdxxC xdx
8、xxC x xdxxxCxxC 22 2 2 2 sectancsccot tan secseccsc cotcsc 1 arcsinarccos 1 1 arctanarccot 1 C xdxxCxdxxC xxdxxCxxdxxC dxxCxC x dxxCxC x 或 或 22 22 22 22 22 22 22 22 2 2222 2222 111 arctanarcsin 111 ln ln 2 111 ln ln 2 arcsin 22 2 xx dxCdxC axaaa ax ax dxCdxxxaC axaax xa xa dxCdxxxaC xaaxa xa xax ax
9、dxaxC a x xa dxxa 2 22 2 222222 22 22 ln 2 ln 22 cos cossin sin sincos ax ax ax ax a xxaC xa xa dxxaxxaC e ebxdxabxbbxC ab e ebxdxabxbbxC ab 不可积的几个初等函数 2 22 1sincos sincos ln x xx exx xxx 4 1 2 换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法 换元积分法 1 第一类换元积分法 即凑微分法 合并 2 第二类换元积分法 拆分 分部积分法 u x v x dxu x v xu x v x dx 4 1 3 有理函
10、数和可化为有理函数的积分有理函数和可化为有理函数的积分 有理函数有理函数 P x R x Q x 的积分可以归结为下列四种简单分式的积分 1 A dx xa 2 A n dx xa 3 2 Mx N dx xpxq 4 2 Mx N n dx xpxq 1 2222212 123 2 1 2 1 nn nn dxxn II xaa nxaa n 三角函数有理式三角函数有理式的积分一般用万能代换tan 2 x t 对于如下 形式可以采用更灵活的代换 对于积分 22 sin cos Rxx dx 可令 tanx t 对于积分 sin cosRxxdx 可令 sinx t 对于积分 cos sinR
11、xxdx 可令 cosx t 等等 某些可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 1 n axb R xdx cxd 型积分 其中 n 1 其中 ad bc 这里的关键问题是消去根号 可令axb t cxd 2 2 R xaxbxcdx 型 积 分 其 中 2 40bac a 0 由 于 2 22 2 4 24 bacb axbxca x aa 故此类型积分可以化为以下三种类型 22 R ukudx 可用三角替换 sinukt 22 R uukdx 可用三角替换secukt 22 R uukdx 可用三角替换tanukt 1 2 1 tantan 1 nn nn IxdxxI n 倒代换 2
12、4 1 1 x dx x 2 4 1 1 x dx x 由此还可以求出 4 1 1 dx x 2 4 1 x dx x 22 11 sincos 0 sincos axbx dx ab axbx 解 设 11 sincos sincos cossin axbxA axbxB ax bx 为此应有 1 1 aA bBa bAaBb 解得 1111 2222 aabbabba AB abab 故 11 sincos sincos sincossincos axbxaxbx dxA dxBdx axbxaxbx 1111 2222 ln sincos aabbabba xaxbxC abab 4 2
13、 定积分定积分 4 2 1 可积条件可积条件 可积的必要条件 若函数 f x 在闭区间 a b 上可积 则 f x 在 a b 上有界 可积函数类 闭区间上的连续函数 单调函数 有界且只有有限个间断点 4 2 2 定积分的计算定积分的计算 1 换元积分法 b a f x dxftt dx 从右到左 相当于不定积分的第一类换元积分法 从左到右 相当于第二类 换元积分法 2 分部积分法 bb b a aa u x v x dxu x v xu x v x dx 常见的积分和式 1 1 lim 1 lim n b an i n b an i i baba f x dxf a nn ibaba f x
14、 dxf a nn 4 1 0 1 1 lim n n i i ff x dx nn 22 00 2 00 2 000 sin cos sin 2 sin sin sin sin 2 fx dxfx dx fx dxfx dx xfx dxfx dxfx dx 22 2 00 1 sincos nn nnn n Ixdxxdx II n 使用分部积分法的常见题型 被积函数的形式 所用方法 sin cos x nnn P x e P xx P xx 进 行 n 次 分 部 积 分 每 次 均 取 sin cos x exx 为 vx ln sin arctan nnn P xx P x arcx
15、 P xx 取 n P x为 v x sin cos xx ex ex 取 x e 为 v x 进行两次分部积分 4 2 3 定积分的应用定积分的应用 1 平面图形的面积 2 1 2 dSf x dxy dyrd 2 旋转体的体积 22 2 dVfx dxy dyxf x dx 3 弧长 曲率 弧微分公式 2222 1 1 dsdxdyfx dxy dy 2222 xtyt dtrrd 曲率 223 223 2 1 dy t x ty t x ty K dsxtyty 4 静矩 转动惯量 mr mr2 5 12 2 mm FG r 引力 均匀细杆质量为 M 长度为 l 在杆的延长线上离右端为
16、a 处有一质量为 m 的质点 则质点与细杆之间的引力为 F kMm a a l 均匀圆环质量为 M 半径为 r 在圆心的正上方距离为 b 处有一质量为 m 的质点 则质点与均匀圆环之间的引力为 3 22 2 F kMmb rb 均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环 4 3 广义积分广义积分 广义积分审敛法 1 比较法 f x kg x k 0 2 比较法的极限形式 lim x f x k g x 3 柯西收敛准则 A A f x dx 几个常见的广义积分 1 1 1 0 0 1 1 1 0 3 1 0 ln 1 0 k b pp aa x p aa ppdxdx aa xxapp pdx ax edx k xxp 收敛收敛 发散发散 收敛收敛 发散发散 2 0 1 1 I 1 1 4 x Idxt xx 2 x edx 第第 5 章章 无穷级数无穷级数 常数项级数敛散性的判定 1 若lim 0 n n u 级数发散 等于零 需进一步判定 2 若 1 n n u 为正项级数 根据一般项的特点选择相应判别法 一般项中含有 n 或 n 的乘积形式 采用比值判别法 一般项中含有以 n 为指数幂的因
