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1、2020年数学中考压轴题专项训练:圆的综合1如图,点O为RtABC斜边AB上的一点,C90,以OA为半径的O与BC交于点D,与AC交于点E,连接AD且AD平分BAC(1)求证:BC是O的切线;(2)若BAC60,OA2,求阴影部分的面积(结果保留)(1)证明:连接OD,AD平分BAC,BADDAC,AODO,BADADO,CADADO,ACOD,ACD90,ODBC,BC与O相切;(2)解:连接OE,ED,BAC60,OEOA,OAE为等边三角形,AOE60,ADE30,又OADBAC30,ADEOAD,EDAO,四边形OAED是菱形,OEAD,且AMDM,EMOM,SAEDSAOD,阴影部分
2、的面积S扇形ODE2如图,已知AB是O的直径,AC是O的弦,点E在O外,连接CE,ACB的平分线交O于点D(1)若BCEBAC,求证:CE是O的切线;(2)若AD4,BC3,求弦AC的长(1)证明:连接OC,AB是O的直径,ACB90,ACO+BCO90,OAOC,OACOCA,BACBCE,ACOBCE,BCE+BCO90,OCE90,CE是O的切线;(2)解:连接BD,ACB的平分线交O于点D,ACDBCD,ADBD,AB是O的直径,ADB90,ADB是等腰直角三角形,ABAD4,BC3,AC3如图,AB是O的直径,AE平分BAF,交O于点E,过点E作直线EDAF,交AF的延长线于点D,交
3、AB的延长线于点C(1)求证:CD是O的切线;(2)C45,O的半径为2,求阴影部分面积(1)证明:连接OEOAOE,OAEOEA,又DAEOAE,OEADAE,OEAD,ADCOEC,ADCD,ADC90,故OEC90OECD,CD是O的切线;(2)解:C45,OCE是等腰直角三角形,CEOE2,COE45,阴影部分面积SOCES扇形OBE2224如图,BC是O的直径,点A在O上,ADBC垂足为D,弧AE弧AB,BE分别交AD、AC于点F、G(1)判断FAG的形状,并说明理由;(2)如图若点E与点A在直径BC的两侧,BE、AC的延长线交于点G,AD的延长线交BE于点F,其余条件不变(1)中的
4、结论还成立吗?请说明理由(3)在(2)的条件下,若BG26,DF5,求O的直径BC解:(1)FAG等腰三角形;理由:BC为直径,BAC90,ABE+AGB90,ADBC,ADC90,ACD+DAC90,弧AE弧AB,ABEACD,DACAGB,FAFG,FAG是等腰三角形;(2)成立;BC为直径,BAC90ABE+AGB90ADBC,ADC90,ACD+DAC90,弧AE弧AB,ABEACD,DACAGB,FAFG,FAG是等腰三角形;(3)由(2)知DACAGB,且BAD+DAC90,ABG+AGB90,BADABG,AFBF,又AFFG,F为BG的中点BAG为直角三角形,AFBFBG13,
5、DF5,ADAFDF1358,在RtBDF中,BD12,在RtBDA中,AB4,ABCDBA,BACADB90ABCDBA,BC,O的直径BC5如图,已知矩形ABCD的边AB6,BC4,点P、Q分别是AB、BC边上的动点(1)连接AQ、PQ,以PQ为直径的O交AQ于点E若点E恰好是AQ的中点,则QPB与AQP的数量关系是QPB2AQP;若BEBQ3,求BP的长;(2)已知AP3,BQ1,O是以PQ为弦的圆若圆心O恰好在CB边的延长线上,求O的半径;若O与矩形ABCD的一边相切,求O的半径解:(1)点E恰好是AQ的中点,ABQ90,BEAEEQ,EABEBA,QEB2EBP,以PQ为直径的O交A
6、Q于点E,QPBQEB,PBEPQA,QPB2AQP,故答案为:QPB2AQP;BEBQ,BEQBQE,且BPQBEQ,BPQBQE,tanBPQtanBPQ,BP(2)如图1,过点O作OEPQ,AP3,AB6,BP3,PQ,OEPQ,QEPE,cosPQB,OQ5,O的半径为5;如图2,若O与BC相切于点Q,连接OQ,过点O作OEPQ于E,EQPE,BC是O切线,OQBC,且ABBC,OQAB,OQPBPQ,cosOQPcosBPQ,OQ;如图3,若O与AB相切于点P,连接OP,过点O作OEPQ于E,EQPE,AB是O切线,OPAB,且ABBC,OPBC,OPQPQB,cosOPQcosPQ
7、B,OP5;如图4,若O与AD相切于点M,连接OM,OQ,OP,延长MO交BC于F,作OHAB于H点,OMAD,且BCAD,OFBC,ABAMOOFBOHB90,四边形AHOM,OHBF是矩形,OMAH,OHBF,OQ2OF2+FQ2,OP2OH2+PH2,OQ2(6OQ)2+(BF1)2,OQ2BF2+(OQ3)2,OQ5若图5,若O与CD相切于点N,连接ON,OQ,OP,延长NO交BC于E,作OHBC于H点,同理可得:OP2PE2+OE2,OQ2OH2+QH2,OQ2(3OH)2+(4OQ)2,OQ2OH2+(4OQ1)2,OQ3566如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩
8、形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取一点O,以点O为圆心,OF为半径作O与AD相切于点PAB6,BC,(1)求证:F是DC的中点(2)求证:AE4CE(3)求图中阴影部分的面积(1)证明:由折叠的性质可知,AFAB6,在RtADF中,DF3,CFDCDF3,DFFC,即F是CD的中点;(2)证明:在RtADF中,DF3,AF6,DAF30,BAF60,由折叠的性质可知,EAFEAB,AFEB90,EAFEAB30,AE2EF,EFC180AFDAFE30,EF2CE,AE4CE;(3)解:连接OP、OH、PH,O与AD相切于点P,OPAD,OPDF,DAF30,AOP90D
9、AF60,OFOPOA,OFHAOP60,OPOF2,AP2,DPADAP,OFH60,OHOF,OHF为等边三角形,FOHOHF60,HFOF2,DHDFHF1,OPDF,POHOHF60,POHHOF,阴影部分的面积PDH的面积DHDP7如图,RtABC中,ABC90,以AB为直径作O交AC于点D,连接BD(1)求证:ACBD(2)若AB10,AD6,M为线段BC上一点,请写出一个BM的值,使得直线DM与O相切,并说明理由(1)证明:AB为O直径,ADB90,A+ABD90ABC90,CBD+ABD90,ACBD;(2)BM理由如下:如图,连接OD,DM,ADB90,AB10,AD6,BD
10、8,OA5,ACBD,RtCBDRtBAD,即,解得BC取BC的中点M,连接DM、OD,如图,DM为RtBCD斜边BC的中线,DMBM,24,OBOD,13,1+23+490,即ODM90,ODDM,DM为O的切线,此时BMBC8如图,AB是O的直径,直线MC与O相切于点C过点A作MC的垂线,垂足为D,线段AD与O相交于点E(1)求证:AC是DAB的平分线;(2)若AB10,AC4,求AE的长(1)证明:连接OC,直线MC与O相切于点C,OCM90,ADCD,ADM90,OCMADM,OCAD,DACACO,OAOC,ACOCAO,DACCAB,即AC是DAB的平分线;(2)解:连接BC,连接
11、BE交OC于点F,AB是O的直径,ACBAEB90,AB10,AC4,BC2,OCAD,BFOAEB90,CFB90,F为线段BE中点,CBEEACCAB,CFBACB,CFBBCA,即,解得,CF2,OFOCCF3O为直径AB中点,F为线段BE中点,AE2OF69如图,AB是O的直径,点C是圆上一点,点D是半圆的中点,连接CD交OB于点E,点F是AB延长线上一点,CFEF(1)求证:FC是O的切线;(2)若CF5,tanA,求O半径的长(1)证明:如图,连接OD点D是半圆的中点,AODBOD90,ODC+OED90,ODOC,ODCOCD又CFEF,FCEFECFECOED,FCEOEDFCE+OCDOED+ODC90,即FCOC,FC是O的切线;(2)解:tanA,在RtABC中,ACBOCF90,ACOBCFA,