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1、解析几何课件 第四版 吕林根许子道等编 第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面 第五章二次曲线的一般理论 第一章向量与坐标 第三章平面与空间直线 第二章轨迹与方程 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何 为将代数运算引导几何中 采用的最根本最有效的做法 有系统的把空间的几何结构代数化 数量化 第一章向量与坐标 1 1向量的概念 1 3数乘向量 1 2向量的加法 1 4向量的线性关系与向量的分解 1 6向量在轴上的射影 1 5标架与坐标 1 7两向量的数性积 1 9三向量的混合积 1 8两向量的向量积 1 10向量的双重向量积 第二章轨迹与方程 2 1平面曲线的方程 2 2曲面的方程 2 4空间曲
2、线的方程 2 3母线平行于坐标轴的柱面方程 第三章平面与空间直线 3 1平面的方程 3 3两平面的相关位置 3 2平面与点的相关位置 3 4空间直线的方程 3 6空间两直线的相关位置 3 5直线与平面的相关位置 3 7空间直线与点的相关位置 第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面 4 1柱面 4 3旋转曲面 4 2锥面 4 4椭球面 4 5双曲面 第五章二次曲线的一般理论 5 1二次曲线与直线的相关位置 5 3二次曲线的切线 5 2二次曲线的渐近方向 中心 渐近线 5 4二次曲线的直径 5 6二次曲线方程的化简与分类 5 5二次曲线的主直径和主方向 5 7应用不变量化简二次曲线方程 定义1 1 1既
3、有大小又有方向的量叫做向量 或称矢量 向量 矢量 既有大小又有方向的量 向量的几何表示 两类量 数量 标量 可用一个数值来描述的量 有向线段 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的长度表示向量的大小 1 1向量的概念 返回 下一页 第一章向量与坐标 1 1向量的概念 所有的零向量都相等 模为1的向量 零向量 模为0的向量 单位向量 或 定义1 1 2如果两个向量的模相等且方向相同 那么叫做相等向量 记为 定义1 1 3两个模相等 方向相反的向量叫做互为反向量 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 1向量的概念 零向量与任何共线的向量组共线 定义1 1 4平行于同一直线的一组向量叫做共线
4、向量 定义1 1 5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量 零向量与任何共面的向量组共面 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 1向量的概念 O A B 这种求两个向量和的方法叫三角形法则 定理1 2 1如果把两个向量为邻边组成一个平行四边形OACB 那么对角线向量 1 2向量的加法 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 O A B C 这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1 2 2向量的加法满足下面的运算规律 1 交换律 2 结合律 3 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 O A1 A2 A3 A4 An 1 An 这种求和的方法叫做多边形法则 上一页
5、 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 向量减法 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 2向量的加法 1 3数乘向量 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 3数乘向量 定理1 3 1数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 2 第一分配律 两个向量的平行关系 3 第二分配律 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 3数乘向量 证 充分性显然 必要性 两式相减 得 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 3数乘向量 按照向
6、量与数的乘积的规定 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 3数乘向量 例1设AM是三角形ABC的中线 求证 证 如图 因为 所以 但 因而 即 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 3数乘向量 例2用向量方法证明 联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半 证 设 ABC两边AB AC之中点分别为M N 那么 所以 且 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 3数乘向量 1 4向量的线性关系与向量的分解 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 4向量的线性关系与向量的分解 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐
7、标 1 4向量的线性关系与向量的分解 例2证明四面体对边中点的连线交于一点 且互相平分 A B C D E F P1 e1 e2 e3 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 4向量的线性关系与向量的分解 连接AF 因为AP1是 AEF的中线 所以有 又因为AF是 ACD的中线 所以又有 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 4向量的线性关系与向量的分解 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 4向量的线性关系与向量的分解 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 4向量的线性关系与向量的分解 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系 1 5标架与坐
8、标 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 2 坐标面与卦限 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 空间的点 有序数组 特殊点的表示 坐标轴上的点 坐标面上的点 称为点M的坐标 x称为横坐标 y称为纵坐标 z称为竖坐标 3 空间点的直角坐标 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 称为向量的坐标分解式 4 空间向量的坐标 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 显然 向量的坐标 向径 在三个坐标轴上的分向量 点M关于原点O 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 5 利用
9、坐标作向量的线性运算 向量的加减法 向量与数的乘法运算的坐标表达式 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 解 6 线段的定比分点坐标 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 由题意知 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 定理1 5 4已知两个非零向量 7 其它相关定理 则 共线的充要条件是 定理1 5 6已知三个非零向量 则 共面的充要条件是 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 5标架与坐标 空间一点在轴上的射影 1 6向量在轴上的射影 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 空间一向量在轴上的射影 上一页 下一页 返
10、回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 关于向量的射影定理 1 6 1 证 由此定义 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 定理1的说明 射影为正 射影为负 射影为零 4 相等向量在同一轴上射影相等 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 关于向量的射影定理 1 6 2 可推广到有限多个 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 关于向量的射影定理 1 6 3 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 解 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 6向量在轴上的射影 启示 实例 两向量作这样的运算 结
11、果是一个数量 M1 M2 1 7两向量的数量积 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 数量积也称为 点积 内积 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积 定义 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 关于数量积的说明 证 证 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 数量积符合下列运算规律 1 交换律 2 分配律 若 为数 3 若为数 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 设 数量积的坐标表达式 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 由勾股定理 向量模
12、的坐标表示式 向量的模与空间两点间距离公式 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 为空间两点 空间两点间距离公式 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 空间两向量的夹角的概念 类似地 可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地 当两个向量中有一个零向量时 规定它们的夹角可在0与之间任意取值 方向角与方向余弦的坐标表示式 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 非零向量的方向角 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来
13、表示向量的方向 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 当时 向量方向余弦的坐标表示式 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 方向余弦的特征 上式表明 以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 解 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 证 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 7两向量的数量积 1 8两向量的向量积 下一页 返回 第一章
14、向量与坐标 1 8两向量的向量积 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 8两向量的向量积 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 8两向量的向量积 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 8两向量的向量积 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 8两向量的向量积 定义 设 混合积的坐标表达式 1 9三向量的混合积 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 9三向量的混合积 1 向量混合积的几何意义 关于混合积的说明 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 9三向量的混合积 解 例1 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标 1 9三向量的混合积 解 上一页 下一页 返回 第一章向量与坐标
15、 1 9三向量的混合积 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 上一页 返回 第一章向量与坐标 1 9三向量的混合积 1 10三向量的三重向量积 返回 上一页 下一页 第一章向量与坐标 1 10三向量的三重向量积 定义1 10 1给定空间三向量 先作其中两个向量的向量积 再作所得向量与第三个向量的向量积 那么最后的结果仍然是一向量 叫做所给三向量的双重向量积 例 就是三向量 的一个双重向量积 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程 不在曲线上的点不能同时满足两个方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 特点 2 1平面曲线的方程 下一页 返回 第二章轨迹与方程 2 1平面曲线的方程 例1方程组
16、表示怎样的曲线 解 表示圆柱面 表示平面 交线为椭圆 上一页 下一页 返回 第二章轨迹与方程 2 1平面曲线的方程 例2方程组 解 上半球面 圆柱面 交线如图 表示怎样的曲线 上一页 返回 第二章轨迹与方程 2 1平面曲线的方程 水桶的表面 台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义 曲面的实例 2 2曲面的方程 下一页 返回 第二章轨迹与方程 2 2曲面的方程 根据题意有 化简得所求方程 解 上一页 下一页 返回 第二章轨迹与方程 2 2曲面的方程 解 根据题意有 所求方程为 上一页 下一页 返回 第二章轨迹与方程 2 2曲面的方程 以下给出几例常见的曲面 解 根据题意有 所求方程为 特殊地 球心在原点时方程为 上一页 下一页 返回 第二章轨迹与方程 2 2曲面的方程 得上 下半球面的方程分别是 当A2 B2 C2 4D 0时 是球面方程 由 由上述方程可得球面的一般式方程为 反之 由一般式方程 经过配方又可得到 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 x A 2 2 y B 2 2 z C 2 2 A2 B2 C2 4D 4 上一页 下一页 返回
