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1、2 5习题与上机题解答 1 设X ej 和Y ej 分别是x n 和y n 的傅里叶变换 试求下面序列的傅里叶变换 1 x n n0 2 x n 3 x n 4 x n y n 5 x n y n 6 nx n 7 x 2n 8 x2 n 9 解 1 令n n n0 即n n n0 则 2 3 令n n 则 4 FT x n y n X ej Y ej 下面证明上式成立 令k n m 则 5 或者 6 因为 对该式两边 求导 得到 因此 7 令n 2n 则 或者 8 利用 5 题结果 令x n y n 则 9 令n n 2 则 2 已知 求X ej 的傅里叶反变换x n 解 3 线性时不变系统
2、的频率响应 频率响应函数 H ej H ej ej 如果单位脉冲响应h n 为实序列 试证明输入x n Acos 0n j 的稳态响应为 解 假设输入信号x n ej 0n 系统单位脉冲响应为h n 则系统输出为 上式说明当输入信号为复指数序列时 输出序列仍是复指数序列 且频率相同 但幅度和相位取决于网络传输函数 利用该性质解此题 上式中 H ej 是 的偶函数 相位函数是 的奇函数 H ej H e j 故 4 设 将x n 以4为周期进行周期延拓 形成周期序列 画出x n 和的波形 求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换 解 画出x n 和的波形如题4解图所示 题4解图 或者 5 设题5图所示的
3、序列x n 的FT用X ej 表示 不直接求出X ej 完成下列运算或工作 题5图 1 2 3 4 确定并画出傅里叶变换实部Re X ej 的时间序列xa n 5 6 解 1 2 3 4 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分 即 按照上式画出xe n 的波形如题5解图所示 题5解图 5 6 因为 因此 6 试求如下序列的傅里叶变换 1 x1 n n 3 2 3 x3 n anu n 0 a 1 4 x4 n u n 3 u n 4 解 1 2 3 4 或者 7 设 1 x n 是实偶函数 2 x n 是实奇函数 分别分析推导以上两种假设下 其x n 的傅里叶变换性质 解 令 1 因为x
4、n 是实偶函数 对上式两边取共轭 得到 因此X ej X e j 上式说明x n 是实序列 X ej 具有共轭对称性质 由于x n 是偶函数 x n sin 是奇函数 那么 因此 该式说明X ej 是实函数 且是 的偶函数 总结以上 x n 是实偶函数时 对应的傅里叶变换X ej 是实函数 是 的偶函数 2 x n 是实奇函数 上面已推出 由于x n 是实序列 X ej 具有共轭对称性质 即X ej X e j 由于x n 是奇函数 上式中x n cos 是奇函数 那么 因此 这说明X ej 是纯虚数 且是 的奇函数 8 设x n R4 n 试求x n 的共轭对称序列xe n 和共轭反对称序列
5、xo n 并分别用图表示 解 xe n 和xo n 的波形如题8解图所示 题8解图 9 已知x n anu n 0 a 1 分别求出其偶函数xe n 和奇函数xo n 的傅里叶变换 解 因为xe n 的傅里叶变换对应X ej 的实部 xo n 的傅里叶变换对应X ej 的虚部乘以j 因此 10 若序列h n 是实因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 HR ej 1 cos 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 11 若序列h n 是实因果序列 h 0 1 其傅里叶变换的虚部为HI ej sin 求序列h n 及其傅里叶变换H ej 解 12 设系统的单位脉冲响应h n anu n 0 a 1
6、 输入序列为x n n 2 n 2 完成下面各题 1 求出系统输出序列y n 2 分别求出x n h n 和y n 的傅里叶变换 解 1 2 13 已知xa t 2cos 2 f0t 式中f0 100Hz 以采样频率fs 400Hz对xa t 进行采样 得到采样信号和时域离散信号x n 试完成下面各题 1 写出的傅里叶变换表示式Xa j 2 写出和x n 的表达式 3 分别求出的傅里叶变换和x n 序列的傅里叶变换 解 上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数 函数 它的傅里叶变换可以表示成 2 3 式中 式中 0 0T 0 5 rad上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有
7、引入奇异函数 函数才能写出它的傅里叶变换表示式 14 求出以下序列的Z变换及收敛域 1 2 nu n 2 2 nu n 1 3 2 nu n 4 n 5 n 1 6 2 n u n u n 10 解 1 2 3 4 ZT n 10 z 5 ZT n 1 z 10 z 6 15 求以下序列的Z变换及其收敛域 并在z平面上画出极零点分布图 1 x n RN n N 4 2 x n Arncos 0n j u n r 0 9 0 0 5 rad j 0 25 rad 3 式中 N 4 解 1 由z4 1 0 得零点为 由z3 z 1 0 得极点为z1 2 0 1零极点图和收敛域如题15解图 a 所示
8、 图中 z 1处的零极点相互对消 题15解图 2 零点为 极点为 极零点分布图如题15解图 b 所示 3 令y n R4 n 则x n 1 y n y n zX z Y z 2 X z z 1 Y z 2 因为 因此 极点为z1 0 z2 1 零点为 在z 1处的极零点相互对消 收敛域为0 z 极零点分布图如题15解图 c 所示 16 已知 求出对应X z 的各种可能的序列表达式 解 X z 有两个极点 z1 0 5 z2 2 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有三种情况 z 0 5 0 5 z 2 2 z 三种收敛域对应三种不同的原序列 1 收敛域 z 0 5 令 n 0时 因为c内无极点
9、 x n 0 n 1时 c内有极点0 但z 0是一个n阶极点 改为求圆外极点留数 圆外极点有z1 0 5 z2 2 那么 2 收敛域0 5 z 2 n 0时 c内有极点0 5 n 0时 c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 c外极点只有一个 即2 x n Res F z 2 2 2nu n 1 最后得到 3 收敛域 z 2 n 0时 c内有极点0 5 2 n 0时 由收敛域判断 这是一个因果序列 因此x n 0 或者这样分析 c内有极点0 5 2 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外无极点 所以x n 0 最后得到 17 已知x n anu n 0 a 1 分
10、别求 1 x n 的Z变换 2 nx n 的Z变换 3 a nu n 的Z变换 解 1 2 3 18 已知 分别求 1 收敛域0 52对应的原序列x n 解 1 收敛域0 5 z 2 n 0时 c内有极点0 5 x n Res F z 0 5 0 5n 2 nn 0时 c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外极点只有2 x n Res F z 2 2n 最后得到x n 2 nu n 2nu n 1 2 n 2 n 0时 c内有极点0 5 2 n 0时 c内有极点0 5 2 0 但极点0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 可是c外没有极点 因此 x n 0 最后得到 x
11、n 0 5n 2n u n 19 用部分分式法求以下X z 的反变换 1 2 解 1 2 20 设确定性序列x n 的自相关函数用下式表示 试用x n 的Z变换X z 和x n 的傅里叶变换X ej 分别表示自相关函数的Z变换Rxx z 和傅里叶变换Rxx ej 解 解法一 令m n m 则 解法二 因为x n 是实序列 X e j X ej 因此 21 用Z变换法解下列差分方程 1 y n 0 9y n 1 0 05u n y n 0n 1 2 y n 0 9y n 1 0 05u n y 1 1 y n 0n 1 3 y n 0 8y n 1 0 15y n 2 n y 1 0 2 y 2
12、 0 5 y n 0 当n 3时 解 1 y n 0 9y n 1 0 05u n y n 0n 1 n 0时 n 0时 y n 0最后得到y n 0 5 0 9 n 1 0 5 u n 2 y n 0 9y n 1 0 05u n y 1 1 y n 0n 1 n 0时 n 0时 y n 0最后得到y n 0 45 0 9 n 0 5 u n 3 y n 0 8y n 1 0 15y n 2 n y 1 0 2 y 2 0 5 y n 0 当n 2时 Y z 0 8z 1 Y z y 1 z 0 15z 2 Y z y 1 z y 2 z2 1 n 0时 y n 4 365 0 3n 6 3
13、75 0 5nn 0时 y n 0最后得到y n 4 365 0 3n 6 375 0 5n u n 22 设线性时不变系统的系统函数H z 为 1 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络 即 H ej 常数 2 参数a如何取值 才能使系统因果稳定 画出其极零点分布及收敛域 解 1 极点为a 零点为a 1 设a 0 6 极零点分布图如题22解图 a 所示 我们知道 H ej 等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度 按照题22解图 a 得到 因为角 公用 且 AOB AOC 故 即 故H z 是一个全通网络 或者按照余弦定理证明 题22解图 2 只有选择 a 1才能使系统因果稳定 设a 0 6 极
14、零点分布图及收敛域如题22解图 b 所示 23 设系统由下面差分方程描述 y n y n 1 y n 2 x n 1 1 求系统的系统函数H z 并画出极零点分布图 2 限定系统是因果的 写出H z 的收敛域 并求出其单位脉冲响应h n 3 限定系统是稳定性的 写出H z 的收敛域 并求出其单位脉冲响应h n 解 1 y n y n 1 y n 2 x n 1 将上式进行Z变换 得到Y z Y z z 1 Y z z 2 X z z 1 因此 零点为z 0 令z2 z 1 0 求出极点 极零点分布图如题23解图所示 题23解图 2 由于限定系统是因果的 收敛域需选包含 点在内的收敛域 即 求系
15、统的单位脉冲响应可以用两种方法 一种是令输入等于单位脉冲序列 通过解差分方程 其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应 另一种方法是求H z 的逆Z变换 我们采用第二种方法 式中 令 n 0时 h n Res F z z1 Res F z z2 因为h n 是因果序列 n 0时 h n 0 故 3 由于限定系统是稳定的 收敛域需选包含单位圆在内的收敛域 即 z2 z z1 n 0时 c内只有极点z2 只需求z2点的留数 n 0时 c内只有两个极点 z2和z 0 因为z 0是一个n阶极点 改成求圆外极点留数 圆外极点只有一个 即z1 那么 最后得到 24 已知线性因果网络用下面差分方程描述 y n
16、0 9y n 1 x n 0 9x n 1 1 求网络的系统函数H z 及单位脉冲响应h n 2 写出网络频率响应函数H ej 的表达式 并定性画出其幅频特性曲线 3 设输入x n ej 0n 求输出y n 解 1 y n 0 9y n 1 x n 0 9x n 1 Y z 0 9Y z z 1 X z 0 9X z z 1 令 n 1时 c内有极点0 9 n 0时 c内有极点0 9 0 最后得到h n 2 0 9nu n 1 n 2 极点为z1 0 9 零点为z2 0 9 极零点图如题24解图 a 所示 按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图 b 所示 3 题24解图 25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x n anu n h n bnu n 0 a 1 0 b 1 1 试用卷积法求网络输出y n 2 试用ZT法求网络输出y n 解 1 用卷积法求y n n 0时 n 0时 y n 0最后得到 2 用ZT法求y n 令 n 0时 c内有极点 a b 因此 因为系统是因果系统 所以n 0时 y n 0 最后得到 26 线性因果系统用下面差分方程描述 y n 2ry n 1 co
