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1、期末复习总结期末复习总结 计算方法 董君良 北京工业大学 董君良 北京工业大学 应用数理学院应用数理学院 dongjl 1 第一章 数值计算的误差 计算方法 2 绝对误差 绝对误差 绝对误差绝对误差 exx x 精确值精确值 x 近似值近似值 则称则称 为为 绝对误差限绝对误差限 误差限误差限 若存在一个正数若存在一个正数 使得 使得 工程上通常记为 工程上通常记为 x x e x x 绝对误差绝对误差 可能取正 也可能取负可能取正 也可能取负 绝对误差绝对误差 越小越具有参考价值越小越具有参考价值 但但 绝对误差绝对误差 却不能很好地表示近似值的精确程度却不能很好地表示近似值的精确程度 3
2、相对误差相对误差 相对误差 相对误差 x x er x 若存在正数若存在正数 r 使得 使得 er r 则称则称 r 为为相对误差限相对误差限 由于真值难以求出 通常也使用下面的定义作为相对误差由于真值难以求出 通常也使用下面的定义作为相对误差 x x er x 近似值的精确程度取决于近似值的精确程度取决于 相对误差相对误差 的大小的大小 实际计算中我们所能得到的是实际计算中我们所能得到的是 误差限误差限 或或 相对误差限相对误差限 4 有效数字有效数字 有效数字 有效数字 若近似值若近似值 x 的误差限是某一位的半个单 位 的误差限是某一位的半个单 位 即截取按四舍五入规则 即截取按四舍五入
3、规则 且该位到 且该位到 x 的第一位非 零数字共有 的第一位非 零数字共有 n 位 则称位 则称 x 有有 n 位有效数字位有效数字 x a1 a2 an 10m a1 0 且有且有 x x 0 5 10m n 1 则则 x 有有 n 位有效数字位有效数字 设设 x 为为 x 的近似值 若的近似值 若 x 可表示为可表示为 等价描述等价描述 5 有效数字有效数字 例 例 3 14159265 近似值 近似值 x1 3 1415 x2 3 1416 问 问 x1 x2 分别有几位有效数字 分别有几位有效数字 例 例 写出下列各数的具有写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值位有效数字的近似值
4、 187 9325 0 03785551 2 7182828 8 000033 187 93 0 037856 2 7183 8 0000 数字末尾的0不可以随意添加或省略 数字末尾的0不可以随意添加或省略 6 第二章 插值法 计算方法 7 插值基本概念插值基本概念 已知函数已知函数 y f x 在在 a b 上有定义 且已经测得在点上有定义 且已经测得在点 a x0 x1 xn b 处的函数值为处的函数值为 y0 f x0 yn f xn 什么是插值 如果存在一个如果存在一个简单易算简单易算的函数的函数 P x 使得 使得 P xi f xi i 1 2 n 则称则称 P x 为为 f x
5、的的插值函数插值函数 插值区间插值区间 插值节点插值节点 求插值函数求插值函数 P x 的方法就称为的方法就称为插值法插值法 插值节点插值节点无需递 增排列 无需递 增排列 但必须 确保 但必须 确保互不相同互不相同 插值条件插值条件 8 基函数插值法基函数插值法 基函数法 通过基函数来构造插值多项式的方法就称为通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法基函数插值法 Zn x 次数不超过次数不超过 n 的多项式的全体的多项式的全体 记记 n 1 维线性空间维线性空间 设设 z0 x z1 x zn x 构成构成 Zn x 的一组基 则插值多项式的一组基 则插值多项式 P x a0z0
6、x a1z1 x anzn x 寻找合适的基函数 寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的表示系数确定插值多项式在这组基下的表示系数 基函数法基本步骤基函数法基本步骤 9 Lagrange插值插值 Lagrange插值基函数 设设 lk x 是是 n 次多项式 在插值节点次多项式 在插值节点 x0 x1 xn 上满足上满足 1 0 kj jk lx jk 则称则称 lk x 为节点为节点 x0 x1 xn 上的上的拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数 单项式单项式基函数 利用线性无关的单项式族 利用线性无关的单项式族 2 1 n xxx 构造构造 n 次多项式 次多项式 2 012 n n
7、 f xaa xa xa x 10 线性与抛物线插值线性与抛物线插值 两种特殊情形 n 1 01 10 01 101 0110 xxxx L xy lxy l xyy xxxx 线性插值多项式 一次插值多项式 线性插值多项式 一次插值多项式 n 2 020112 012 010110122021 xxxxxxxxxxxx yyy xxxxxxxxxxxx 抛物线插值多项式 二次插值多项式 抛物线插值多项式 二次插值多项式 2 Lx 11 插值举例插值举例 例 例 已知函数已知函数 y lnx 的函数值如下的函数值如下 解解 x 0 40 50 60 70 8 lnx 0 9163 0 6931
8、 0 5108 0 3567 0 2231 试分别用试分别用线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0 54 的近似值的近似值 线性插值线性插值 取取 x0 0 5 x1 0 6 得得 将将 x 0 54 代入可得 代入可得 01 101 0110 0 18231 6046 xxxx L xyyx xxxx ln 0 54 L1 0 54 0 6202 为了减小截断误差 通常选取插值点为了减小截断误差 通常选取插值点 x 邻接的插值节点邻接的插值节点 12 插值举例插值举例 抛物线插值抛物线插值 取取 x0 0 4 x1 0 5 x2 0 6 可得可得 ln 0 54 L2 0
9、 54 0 6153 在实际计算中 不需要给出插值多项式的表达式在实际计算中 不需要给出插值多项式的表达式 ex21 m ln 0 54 的精确值为 的精确值为 0 616186 可见 抛物线插值的精度比线性插值要高可见 抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange插值多项式简单方便 只要取定节点就可写插值多项式简单方便 只要取定节点就可写 出基函数 进而得到插值多项式 易于计算机实现 出基函数 进而得到插值多项式 易于计算机实现 13 Lagrange插值插值 l0 x l1 x ln x 构成构成 Zn x 的一组基的一组基 性质性质 注意注意 l0 x l1 x ln x 与插值节点
10、有关 与插值节点有关 但与函数但与函数 f x 无关无关 lk x 的表达式的表达式 011 011 1 kkn kkk k n j jj k k kn j kk xxxxx lx xxx xxxxxxxx xx xx 由构造法可得由构造法可得 14 误差估计误差估计 如何估计误差 xLxfxR nn 插值余项插值余项 定理定理 设设 f x Cn a b n 阶连续可微阶连续可微 且 且 f n 1 x 在在 a b 内存在 则对内存在 则对 x a b 有 有 1 1 1 n x nnn f Rxf xLxx n 其中其中 x a b 且与且与 x 有关有关 101 nn xxxxxxx
11、证明 证明 板书 板书 15 插值余项插值余项 余项公式只有当余项公式只有当 f x 的高阶导数存在时才能使用的高阶导数存在时才能使用 几点说明 计算插值点计算插值点 x 上的近似值时 应选取与上的近似值时 应选取与 x 相近插值节点相近插值节点 1 0 1 n n ni i M Rxxx n 如果如果 则 则 1 1 n n fxM x 与与 x 有关 通常无法确定有关 通常无法确定 实际使用中通常是估计其上界实际使用中通常是估计其上界 16 插值误差举例插值误差举例 例 例 已知函数已知函数 y lnx 的函数值如下的函数值如下 x 0 40 50 60 70 8 lnx 0 9163 0
12、 6931 0 5108 0 3567 0 2231 试估计试估计线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0 54 的误差的误差 解解 线性插值线性插值 2 2 4f 2 101 2 f R xxxxx 1 0 54 2 0 540 5 0 540 6 0 0048R x0 0 5 x1 0 6 0 5 0 6 17 Newton 插值插值 为什么 Newton 插值 Lagrange 插值简单易用 但若要增加一个节点时 全部基函 数 插值简单易用 但若要增加一个节点时 全部基函 数 lk x 都需重新计算 不太方便 设计一个可以逐次生成插值多项式的算法 即 都需重新计算 不太
13、方便 设计一个可以逐次生成插值多项式的算法 即 n 次插值多项式 可以通过 次插值多项式 可以通过 n 1 次插值多项式生成次插值多项式生成 Newton 插值法插值法 解决办法解决办法 18 新的基函数新的基函数 设插值节点为设插值节点为 x0 xn 考虑插值基函数组 考虑插值基函数组 0 10 201 011 1 nn x xxx xxxxx xxxxxxx 当增加一个节点当增加一个节点 xn 1 时 只需加上基函数时 只需加上基函数 1 0 n ni i xx 19 Newton 插值插值 此时此时 f x 的的 n 次插值多项式为次插值多项式为 1 010201 0 n nnk k p
14、xaa xxaxxxxaxx 问题问题 如何从如何从 pn 1 x 得到得到 pn x 怎样确定参数怎样确定参数 a0 an 需要用到需要用到 差商差商 均差 均差 20 差商差商 什么是差商 设函数设函数 f x 节点 节点 x0 xn ji ij ji f xf x f x x xx f x 关于点关于点 xi xj 的的一阶差商一阶差商 jkij ijk ki f xxf x x f x xx xx f x 关于点关于点 xi xj xk 的的二阶差商二阶差商 101 01 0 kk k k f xxf xx f xxx xx k 阶差商阶差商 差商的一般定义差商的一般定义 21 差商的
15、性质差商的性质 k 阶差商与阶差商与 k 阶导数之间的关系 阶导数之间的关系 若若 f x 在在 a b 上上 具有具有 k 阶导数 则至少存在一点阶导数 则至少存在一点 a b 使得使得 01 k k f f xxx k 22 差商的计算差商的计算 如何巧妙地计算差商 差商表差商表 xi xi 一阶 差商 一阶 差商 二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商 n 阶差商阶差商 x0 x1 x2 x3 xn x0 x1 x2 x3 xn x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn 1 xn x0 x1 x2 x1 x2 x3 xn 2 xn 1 xn x0 x1 x2 x3 xn 3 xn 2 xn 1
16、 xn x0 x1 xn 23 差商举例差商举例 例 例 已知已知 y x 的函数值表 试计算其各阶差商的函数值表 试计算其各阶差商 i0123 xi 2 112 f xi 531721 解 解 差商表如下差商表如下 xi xi 一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商 2 1 1 2 5 3 17 21 2 7 4 3 1 1 ex24 m ex23 m 24 Newton 插值公式插值公式 Newton 插值公式 由差商的定义可得由差商的定义可得 000 f xf xxxf x x 1 101100 xxxfxxxxfxxf 2 0010nnnn xxxfxxxxfxxxf n 1 1 x x0 2 x x0 x xn 1 n 1 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf 100 nn xxxxxxf 100nnn xxxxxxxxxf Nn x Rn x 25 Newton 插值公式插值公式 f x Nn x Rn x 1 010201 1 n ni i n aa xxaxxxxaxNxx 001 nnnn f x xxxRxxxxxx Nn x 是是 n
