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1、1.3.2函数的奇偶性知识梳理1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)或f(x)+ f(x)=0,则称f(x)为奇函数.2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0,则称f(x)为偶函数.3.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=0.(4)奇函数的反函数也为奇函数.(5)定义在(,+)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个
2、奇函数与一个偶函数之和.点击双基1.下面四个结论中,正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)A.1 B.2 C.3 D.4解析:不对;不对,因为奇函数的定义域可能不包含原点;正确;不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0x(a,a).答案:A2.已知函数f(x)=ax2bxc(a0)是偶函数,那么g(x)=ax3bx2cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析:由f(x)为偶函数,知b=0,有g(x)=ax3cx(a0)为奇函数.答案:A3.若偶函数f
3、(x)在区间1,0上是减函数,、是锐角三角形的两个内角,且,则下列不等式中正确的是A.f(cos)f(cos) B.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin) D.f(cos)f(sin)解析:偶函数f(x)在区间1,0上是减函数,f(x)在区间0,1上为增函数.由、是锐角三角形的两个内角,+90,90.1sincos0.f(sin)f(cos).答案:B4.已知f(x)ax2bx3ab是偶函数,且其定义域为a1,2a,则a_,b_.解析:定义域应关于原点对称,故有a12a,得a.又对于所给解析式,要使f(x)f(x)恒成立,应b0.答案: 05.给定函数:y=(x0);y=x2+1
4、;y=2x;y=log2x;y=log2(x+).在这五个函数中,奇函数是_,偶函数是_,非奇非偶函数是_.答案: 典例剖析【例1】 已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x2)在0,2上是单调减函数,则A.f(0)f(1)f(2) B.f(1)f(0)f(2)C.f(1)f(2)f(0) D.f(2)f(1)f(0)剖析:由f(x2)在0,2上单调递减,f(x)在2,0上单调递减.y=f(x)是偶函数,f(x)在0,2上单调递增.又f(1)=f(1),故应选A.答案:A【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|x1|;(2)f(x)=(x1);(3)f(x)=;(4)f(x)
5、=剖析:根据函数奇偶性的定义进行判断.解:(1)函数的定义域x(,+),对称于原点.f(x)=|x+1|x1|=|x1|x+1|=(|x+1|x1|)=f(x),f(x)=|x+1|x1|是奇函数.(2)先确定函数的定义域.由0,得1x1,其定义域不对称于原点,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)去掉绝对值符号,根据定义判断.由得故f(x)的定义域为1,0)(0,1,关于原点对称,且有x+20.从而有f(x)= =,这时有f(x)=f(x),故f(x)为奇函数.(4)函数f(x)的定义域是(,0)(0,+),并且当x0时,x0,f(x)=(x)1(x)=x(1+x)=f(x)(x0).
6、当x0时,x0,f(x)=x(1x)=f(x)(x0).故函数f(x)为奇函数.评述:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 (2005年北京东城区模拟题)函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1、x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数,求x的取值范围.(1)解:令x1=x2=1,有f(11)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)证明:令x1=x2=1,有f(1)
7、(1)=f(1)+f(1).解得f(1)=0.令x1=1,x2=x,有f(x)=f(1)+f(x),f(x)=f(x).f(x)为偶函数.(3)解:f(44)=f(4)+f(4)=2,f(164)=f(16)+f(4)=3.f(3x+1)+f(2x6)3即f(3x+1)(2x6)f(64).(*)f(x)在(0,+)上是增函数,(*)等价于不等式组或或或3x5或x或x3.x的取值范围为x|x或x3或3x5.评述:解答本题易出现如下思维障碍:(1)无从下手,不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.(2)无法得到另一个不等式.解决办法:关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的
8、单调性相反.深化拓展已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)0的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(,),a2,那么f(x)g(x)0的解集是A.(,) B.(b,a2)C.(a2,)(,a2) D.(,b)(b2,a2)提示:f(x)g(x)0或x(a2,)(,a2).答案:C【例4】 (2004年天津模拟题)已知函数f(x)=x+m(p0)是奇函数.(1)求m的值.(2)(理)当x1,2时,求f(x)的最大值和最小值.(文)若p1,当x1,2时,求f(x)的最大值和最小值.解:(1)f(x)是奇函数,f(x)=f(x).x+m=xm.2m=0.m=0.(2)(理)()当p0时,据定义
9、可证明f(x)在1,2上为增函数.f(x)max=f(2)=2+,f(x)min=f(1)=1+p.()当p0时,据定义可证明f(x)在(0,上是减函数,在,+)上是增函数.当1,即0p1时,f(x)在1,2上为增函数,f(x)max=f(2)=2+,f(x)min=f(1)=1+p.当1,2时,f(x)在1,p上是减函数.在p,2上是增函数.f(x)min=f()=2.f(x)max=maxf(1),f(2)=max1+p,2+.当1p2时,1+p2+,f(x)max=f(2);当2p4时,1+p2+,f(x)max=f(1).当2,即p4时,f(x)在1,2上为减函数,f(x)max=f(
10、1)=1+p,f(x)min=f(2)=2+.(文)解答略.评述:f(x)=x+(p0)的单调性是一重要问题,利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,
11、对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 确定f(x)与f(x)的关系; 作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是奇函数。(3)简单性质:图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,
12、奇偶=奇2单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2)(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。(3)设复合函数y= fg(x),其中u=g(x) , A是y= fg(x)定
13、义域的某个区间,B是映射g : xu=g(x) 的象集:若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= fg(x)在A上是增函数;若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= fg(x)在A上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x1,x2D,且x1x2; 作差f(x1)f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)f(x2)的正负); 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。(5)简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反; 在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数。3最值(1)定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0) = M。