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1、平面向量共线的坐标表示 （45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.下列各组向量，共线的是()A.a=(-2，3)，b=(4，6)B.a=(2，3)，b=(3，2)C.a=(1，-2)，b=(7，14)D.a=(-3，2)，b=(6，-4)2.(2013桂林高一检测)已知向量a=(1，m)，b=(3m，1)，且ab，则m2的值为()A.-13B.-23C.13D.233.设kR，下列向量中，与向量a=(1，-1)一定不平行的向量是()A.(k，k)B.(-k，-k)C.(k2+1，k2+1)D.(k2-1，k2-1)4.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i
2、，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).AB与DC共线，则x，y的值可能分别为()A.1，2B.2，2C.3，2D.2，45.向量PA=(k，12)，PB=(4，5)，PC=(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为()A.-2B.11C.-2或11D.2或-11二、填空题(每小题8分，共24分)6.(2013无锡高一检测)已知向量a=(3，1)，b=(0，-1)，c=(k，3)，2a-b与c平行，则实数k=.7.向量a=(1，-2)，向量b与a共线，且|b|=4|a|，则b=.8.已知OA=(-2，m)，OB=(n，1)，OC=(5，-1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m=
3、2n，则m+n=.三、解答题(9题10题各14分，11题18分)9.已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且uv，求实数x的值.10.已知AB=(6，1)，BC=(x，y)，CD=(-2，-3)，且BCDA，试确定x，y的关系式.11.(能力挑战题)过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y=log2x的图象于C，D两点.求证：O，C，D三点在一条直线上.答案解析1.【解析】选D.A.因为(-2)6-340，所以a与b不共线.B.因为22-330，所以a与b不共线.C.因为114-(-2)70，所以a与b不共线.D.因
4、为(-3)(-4)-26=0，所以a与b共线.2.【解析】选C.因为a=(1，m)，b=(3m，1)，且ab，所以11-m(3m)=0，解得m2=13.【变式备选】已知点A(-1，1)，点B(2，y)，向量a=(1，2)，若ABa，则实数y的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.因为A(-1，1)，B(2，y)，所以AB=(2，y)-(-1，1)=(3，y-1).又因为ABa，向量a=(1，2)，所以32-(y-1)1=0，解得y=7.3.【解析】选C.对于选项A和B，当k=0时，向量(k，k)，(-k，-k)都是零向量，都与向量(1，-1)平行.对于选项C，因为1(k2+1)-(-1
5、)(k2+1)=2k2+20，所以向量(1，-1)与向量(k2+1，k2+1)不共线.对于选项D，因为1(k2-1)-(-1)(k2-1)=2k2-2.由2k2-2=0得k=1，所以当k=1时，向量(1，-1)与向量(k2-1，k2-1)共线.4.【解析】选B.因为i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量，所以AB=i+2j=(1，2)，DC=(3-x)i+(4-y)j=(3-x，4-y)，若AB与DC共线，则1(4-y)-2(3-x)=0，整理得2x-y=2，经检验可知x，y的值可能分别为2，2.5.【解析】选C.BA=PA-PB=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)，CA=PA
6、-PC=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k).因为A，B，C三点共线，所以BACA，所以(k-4)(12-k)-7(k-10)=0，整理得k2-9k-22=0，解得k=-2或11.6.【解析】因为a=(3，1)，b=(0，-1)，所以2a-b=2(3，1)-(0，-1)=(23，3)，又c=(k，3)，2a-b与c平行，所以233-3k=0，解得k=2.答案：27.【解析】因为|b|=4|a|，且b与a共线，所以b=-4a，或b=4a，故b=-4(1，-2)=(-4，8)，或b=4(1，-2)=(4，-8).答案：(-4，8)或(4，-8)8.【解题指南】由点A，B，C在同一条直
7、线上可得AB与BC共线，进而可得关于m，n的方程，与m=2n联立即可求出m，n，进而求出m+n.【解析】AB=OB-OA=(n，1)-(-2，m)=(n+2，1-m)，BC=OC-OB=(5，-1)-(n，1)=(5-n，-2).因为A，B，C共线，所以AB与BC共线，所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).又m=2n，解组成的方程组得m=6,n=3,或m=3,n=32.所以m+n=9或92.答案：9或929.【解析】因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以u=a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，v=2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3)，又因为uv，所以3(2
8、x+1)-4(2-x)=0，解得x=12.【拓展提升】向量共线的坐标表示在两个方面的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.解答此类问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.解答此类问题要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据.10.【解析】因为AB=(6，1)，BC=(x，y)，CD=(-2，-3)，所以AD=AB+BC+CD，=(6，1)+(x，y)+(-2，-3)=(4+x，y-2).又因为BCDA，所以BCA
9、D，所以x(y-2)-y(4+x)=0，xy-2x-4y-xy=0，故x+2y=0.11.【解题指南】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由O，A，B三点在一条直线上可以推出关于x1，x2的等量关系.借助此关系式可以证OC与OD共线，进而得O，C，D三点在一条直线上.【证明】设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，则OA=(x1，log8x1)，OB=(x2，log8x2)，根据已知OA与OB共线，所以x1log8x2-x2log8x1=0.又根据题设条件可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，所以OC=(x1，log2x1)，OD=(x2，log2x2).因为x1log2x2-x2log2x1=x1log23x23-x2log23x13=3(x1log8x2-x2log8x1)=0，所以OC与OD共线，又OC与OD有公共点O，所以O，C，D三点在一条直线上.- 6 -
