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1、数值传热学数值传热学 Numerical Heat Transfer 第第4章章 扩散方程的数值扩散方程的数值 解法及其应用解法及其应用 1 扩散方程的数值解法及其应用扩散方程的数值解法及其应用 主要内容主要内容 4 1 一一维导热问题维导热问题 4 2 多维非稳态导热的全隐格式多维非稳态导热的全隐格式 4 3 源项与边界条件的处理源项与边界条件的处理 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 4 5 管道内充分发展的对流传热概说管道内充分发展的对流传热概说 2 4 1 1 一一维稳态导热的通用控制方程维稳态导热的通用控制方程 4 1 2 通用控制方程控制容积积分法的离散通用控制方
2、程控制容积积分法的离散 4 1 3 界面导热系数的确定方法界面导热系数的确定方法 4 1 4 一一维非稳态导热控制方程的离散化维非稳态导热控制方程的离散化 4 1 5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解数学上的稳定未必导致物理上有意义的解 3 4 1 一维导热问题一维导热问题 4 4 1 1 一维稳态导热的通用控制方程一维稳态导热的通用控制方程 一维稳态导热问题不同坐标系通用控制方程一维稳态导热问题不同坐标系通用控制方程 是与导热面积相是与导热面积相 关的因子 关的因子 A x 5 4 1 2 通用控制方程控制容积积分法的离散通用控制方程控制容积积分法的离散 方程两边同时乘以方程两边同时乘以
3、 A x 假定源项可线性化 假定源项可线性化 采用分段线性型线 采用分段线性型线 对对P P控制容积做积分 控制容积做积分 6 4 1 2 通用控制方程控制容积积分法的离散通用控制方程控制容积积分法的离散 将将 置于等号前 置于等号前 置于等号后 置于等号后 P T E T W T 采用下列符号式表示方法 采用下列符号式表示方法 7 4 1 2 通用控制方程控制容积积分法的离散通用控制方程控制容积积分法的离散 系数系数 的物理意义 的物理意义 E a W a 代表了代表了E E点对点对P P点的影响 又称影响系数 点的影响 又称影响系数 8 补充补充 四项基本原则四项基本原则 1 控制界面上流
4、 控制界面上流的相容性原则的相容性原则 当一个面作为两个相邻控制容积的公共界面时 这两个控制当一个面作为两个相邻控制容积的公共界面时 这两个控制 容积的离散化方程中必须用相同的表达式来表示通过该面的容积的离散化方程中必须用相同的表达式来表示通过该面的 通量 如热流密度 质量流量以及动量流量通量 如热流密度 质量流量以及动量流量等等 等等 要求同一时间通过同一控制面的流应该相等要求同一时间通过同一控制面的流应该相等 e PE PP x q e EP EE x q PE qq EP 则违反相容性原则 则违反相容性原则 若 若 要求要求 9 四项基本原则四项基本原则 2 系数同号原则 系数同号原则
5、控制容积中心节点和其相邻节点的系数都必须控制容积中心节点和其相邻节点的系数都必须是大于是大于 等于零的等于零的 即它们必须是同号的即它们必须是同号的 这一法则是基于这样一个自然现象而提出的 在其他条这一法则是基于这样一个自然现象而提出的 在其他条 件不变的情况下 一个网格节点处变量的增加将导致相件不变的情况下 一个网格节点处变量的增加将导致相 邻节点上该值的增加邻节点上该值的增加 对于扩散系统 例如导热 某一点处温度的升高对于扩散系统 例如导热 某一点处温度的升高必然导必然导 致致其相邻区域的温度也升高 其相邻区域的温度也升高 比如 比如 PPEEWW aaa P E 补充补充 10 四项基本
6、原则四项基本原则 3 相邻系数之和原则 相邻系数之和原则 依据 对于线性微分方程 如果不考虑它的定解问题 那依据 对于线性微分方程 如果不考虑它的定解问题 那 么如果么如果 为齐次方程的一个解 则 为齐次方程的一个解 则 C 也必为方程的解 也必为方程的解 离散化方程也必须反映这一事实 于是离散化方程也必须反映这一事实 于是 EEWWPP aaa CaCaCa EEWWPP EWP aaa nb aaP或更一般地写成 更一般的 如果考虑源项和更一般的 如果考虑源项和非稳态项非稳态项的作用 必然有 的作用 必然有 nb aaP 补充补充 11 四项基本原则四项基本原则 4 负斜率源项原则 负斜率
7、源项原则 要求 要求 源项的斜率必须小于等于源项的斜率必须小于等于0 依据 依据 当源项是待求变量的函数时 即当源项是待求变量的函数时 即 S S 为了加速收敛过程 一般要对源项进行线性化除理 为了加速收敛过程 一般要对源项进行线性化除理 即把源项写成下面的形式 即把源项写成下面的形式 S Sc Sp 其中其中Sp是源项的斜率 该原则要求 是源项的斜率 该原则要求 0 p S 补充补充 12 重复前面的离散化过程 对于一维稳态问题 可以证重复前面的离散化过程 对于一维稳态问题 可以证 明 源项线性化的差分方程变为 明 源项线性化的差分方程变为 PEEWWPP baaa 其中其中a aE E 和
8、和a aW W 的的定义没变 但是 定义没变 但是 xSb xSaaa cP pEWP 注意到 注意到 a aE E 0 0 a aW W 0 0 但是 当 但是 当S Sp p 0 0时 有可能导致时 有可能导致a aP P 00f 0 都都要联立求解要联立求解一组一组代数方程 代数方程 其系数矩阵是其系数矩阵是一个三对角阵 一个三对角阵 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 52 2 2 ThomasThomas算法的一般形式算法的一般形式 将上式改写为 将上式改写为 a a 端点条件 端点条件 i 1i 1 C Ci i 0 i M1 B 0 i M1 Bi i 0 0
9、1 1 消元过程 把每行的未知数由三个减少为二个 消元过程 把每行的未知数由三个减少为二个 设消元后方程形式为 设消元后方程形式为 b b 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 53 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 54 上式特点 数学上是上式特点 数学上是递归递归的的 首先必须 首先必须知道知道P P1 1 Q Q1 1 a a 端点条件 端点条件 i 1i 1 C Ci i 0 i M1 B 0 i M1 Bi i 0 0 如果如果将将 a a 式用于式用于i 1 i 1 则立即可得出则立即可得出i 1 i 1 时两点时两点上上 未知量未知量的关系式
10、将它与的关系式 将它与 b b 相比就能得出相比就能得出P P1 1 Q Q1 1 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 55 2 2 回代回代过程 从过程 从M1M1点开始 利用式点开始 利用式 b b 逐一逐一得出得出T Ti i 端点条件 端点条件 i M1 Bi M1 Bi i 0 0 11MM TQ 逐一得出 逐一得出 上述求解方法又称三对角阵算法 上述求解方法又称三对角阵算法 TDMATDMA 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 56 3 3 第一类边界条件下 第一类边界条件下ThomasThomas算法的实施算法的实施 第第一类边界条件下 求解区
11、域一类边界条件下 求解区域为为i 2 i 2 M1M1 1 M21 M2 将将消元公式用于消元公式用于i 1 i 1 注意注意T T1 1是给定的 是给定的 因因T TM1M1已知已知 回代回代从从M2M2 1 1开始开始 注意 采用附加源项法来处理第二类 第三类边注意 采用附加源项法来处理第二类 第三类边 界条件时 均将第二类 第三类边界条件问题视为第界条件时 均将第二类 第三类边界条件问题视为第 一类边界条件问题 数学上的处理与此相同 一类边界条件问题 数学上的处理与此相同 2212MMMM TP TQ 4 4 求解代数方程的求解代数方程的TDMA方法方法 57 4 5 管道内充分发展的对
12、流传热概说管道内充分发展的对流传热概说 4 5 1 管道内充分发展对流换热的定义管道内充分发展对流换热的定义 4 5 2 能实现充分发展对流换热的边界条件能实现充分发展对流换热的边界条件 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 58 4 5 1 管道内充分发展对流换热的定义管道内充分发展对流换热的定义 1 1 简单的充分发展对流换热简单的充分发展对流换热 物理特征物理特征 垂直于主流方向截面上速度分量为零 垂直于主流方向截面上速度分量为零 流体流体无量纲温度分布与主流方向坐标无关无量纲温度分布与主流方向坐标无关 数学特征数学特征 速度与无量纲温度的控制方程均可简 速度与无量纲温度的控制方程均可简
13、 化为扩散型的方程 化为扩散型的方程 本章本章的讨论限于这一类 的讨论限于这一类 59 4 5 1 管道内充分发展对流换热的定义管道内充分发展对流换热的定义 平直通道中的充分平直通道中的充分发展发展对流换热属于这一类 对流换热属于这一类 2 2 复杂的 复杂的充分发展对流换热充分发展对流换热 在在垂直于主流方向的截面上仍然存在速度分量垂直于主流方向的截面上仍然存在速度分量 无无量纲温度与主流方向坐标有关 常呈现周期性变量纲温度与主流方向坐标有关 常呈现周期性变 化化 数学 数学上必须求解上必须求解完全的完全的NavierNavier Stokes Stokes 方程 方程 60 4 5 1 管
14、道内充分发展对流换热的定义管道内充分发展对流换热的定义 61 4 5 2 能实现充分发展对流换热的边界条件能实现充分发展对流换热的边界条件 1 1 轴向 周向均为均匀壁温 轴向 周向均为均匀壁温 TwTw ConstConst 2 2 轴向均匀热流密度 周向均匀壁温 轴向均匀热流密度 周向均匀壁温 ConstConst Tw f x Tw f x 3 3 轴向 周向均为均匀热流密度 轴向 周向均为均匀热流密度 q q ConstConst 4 4 轴向热流密度呈指数规律变化 轴向热流密度呈指数规律变化 R R K ShahK Shah与与A L LondonA L London的专著有详细讨论 的专著有详细讨论 62 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 63 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 64 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 65 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 66 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 67 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 68 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总 69 4 5 3 部分算例汇总部分算例汇总
