《平行板类电容器电容的计算资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行板类电容器电容的计算资料（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、物理与工程 Vol 19 No 1 2009 作者简介 梁成升 1965 年出生 男 河南省濮阳市人 1985 年毕业于安阳师范学院物理系 濮阳职业技术学院数学与信息工程系副教 授 计算机教研室主任 主要从事 物理学 计算机辅助教学 方面的教学研究工作 平行板类电容器电容的计算 梁成升 濮阳职业技术学院 河南 濮阳 457000 收稿日期 2008 06 06 摘 要 平行板电容器是一基本电容器 其电容的计算公式为 C 0S d 对于极板不为平面 面 积不相等的平行板类电容器电容的计算则较为复杂 本文利用微积分原理 将一个普 通电容器看成无限多个微电容器 平行板电容器 的串联 然后 根据电容器
2、串联规律 进行积分 最终求出电容器的电容计算公式 此方法是一个求解电容器电容普遍适用 的方法 计算结果可以直接被应用 关键词 平行板电容器 球冠面极板电容器 圆平面极板电容器 正方形极板电容器 柱形极板 电容器 在电磁学中 电容器电容是一个非常重要的 物理量 平行板电容器电容的计算方法较为简单 而对于上下极板面积不等 且极板为球面 圆面 柱面等平行板类电容器电容的计算则比较复杂 本文将以平行板电容器电容的计算为基础 介绍 几种解决此类问题的方法 1 基础知识 1 1 电容器的电容 由电磁学理论知 在电位不变的情况下 一个 导体的容电能力会因另一导体的移近而大大提 高 利用这一原理 可以使两个导
3、体组成一个容电 能力较大而结构尺寸不大的系统 用来储存电量 也就是储存电能 这个系统称为电容器 即电容 器主要是由两个彼此隔离而又互相屏蔽的导体组 成 带正电的导体称为正极板 带负电的导体称为 负极板 实验表明 电容器电量与两极电压的比值只 与电容器本身结构有关 它是描述电容器本身性 质的物理量 叫做电容器的电容 记作 C 即 C q U 1 常见电容器有平行板电容器 圆柱电容器及 球形电容器 1 2 常见电容器的电容计算公式 为简便起见 我们假设电容器极板间为真空 即介电常数为 0 那么常见的 3 种电容器的电容 计算公式为 平行板电容器 C 0S d 2 圆柱电容器 C 2 0L ln R
4、2 R1 3 球形电容器 C 4 0R1R2 R2 R1 4 公式 2 给出了等面积平行极板电容器电容 的计算方法 实际应用中有许多上 下极板面积不 等且不为平面的情况 现在我们对此问题进行 讨论 2 平行板类电容器电容的计算 2 1 球冠面极板电容器的电容 以下几种类型的电容器 假定其极板间距远 小于极板自身的线度 我们就可按平行板类电器 来计算它们的电容 如图 1 所示为一球冠面极板电容器 电容器 58 物理与工程 Vol 19 No 1 2009 图 1 球冠面极板电容器 的上 下极板分别为半径 R1 R2的球面 在两极板之间任选半 径为 r 及 r dr 的球面组 成一微电容器 当 d
5、r 极小 时 可将此微电容器视为 面积为 r 2 间距为 dr 的 平行板电容器 电容计算 公 式可以 写为 dC 0 r2 dr 式中 为立体角 这 时 整个球冠面极板电容器就可看作由这些微电 容器串联而成 根据电容器串联电容的计算规律 图 1所示球冠面极板电容器的电容为 C 1 R2 R1 1 dC 1 R2 R1 1 0 r 2 dr 1 R2 R1 dr 0 r 2 1 1 0 R2 R1 dr r 2 1 1 0 1 R1 1 R2 0 R1R2 R2 R1 即C 0 R1R2 R2 R1 5 当 4 时 球冠面极板电容器就转换成了 球形电容器 公式 5 也变成了式 4 的形式 2
6、2 圆平面极板电容器的电容 如图 2 所示为一圆面极板电容器 上 下极板 分别为半径为 R1 R2的圆形平面 极板间距离 为 h 图 2 圆面极板电容器 在两极板间任一位置取一半径为 r 的圆 它 与半径为 r dr 的圆面间的电容在 dr 很小的情 况下可认为是一平行板电容器 故其电容为 dC 0 r2 dh 由相似三角形对应边成比例的规律知 dr R1 dh h x 且 x x h R2 R1 所以 x R2h R1 R2 代入 上式得 dh h x R1 dr h R2h R1 R2 R1 dr h R1 R2 R2h R1 R1 R2 dr h R1 R2dr 因此这一微电容器的电容可
7、写为 dC 0 r 2 dh 0 r 2 h R1 R2 dr 0 R 1 R2 h r 2 dr 因图 2 所示的电容器可认为由上述微电容器的串 联而成 所以总电容为 C 1 R1 R2 1 dC 1 R1 R2 1 0 R1 R2 r 2 hdr 1 R1 R2 hdr 0 R1 R2 r 2 1 h 0 R1 R2 R1 R2 dr r 2 1 h 0 R1 R2 1 R2 1 R1 0 R1 R2 R1R2 h R1 R2 0 R1R2 h 所以 圆面极板电容器的电容为 C 0 R1R2 h 6 2 3 正方形极板电容器的电容 如图 3 所示为正方形极板电容器 其中上 下 极板分别是边
8、长为 a 与 b 的正方形 两极板间的 距离为 h 图 3 正方形平行极板电容器 在两极板间任意位置取边长为 2x 的正方形 它与相距 dh 处的正方形组成一微电容 当 dh 极 小时 此微电容可当作平行板电容器处理 其电容 为 dC 0 4x 2 dh 由相似三角形对应边成比例的规 律知 dx b 2 dh h y 且 y y h a 2 b 2 a b 所以 y ah b a 代入上式得 59 物理与工程 Vol 19 No 1 2009 dh 2 h y b dx 2 h ah b a b dx 2h b a 2ah b b a dx 2h b a dx dC 0 4x 2 dh 0 4
9、x 2 2h b a dx 2 0 b a h x 2 dx 因图 3 所示的电容器可认为由上述微电容器串联 而成 所以总电容为 C 1 b 2 a 2 1 dC 1 b 2 a 2 1 2 0 b a x 2 hdx 1 b 2 a 2 hdx 2 0 b a x 2 1 h 2 0 b a b 2 a 2 dx x 2 1 h 2 0 b a 1 a 2 1 b 2 0 b a ab h b a 0 ab h 所以 正方形平行极板电容器的电容为 C 0 ab h 7 2 4 柱形极板电容器的电容 如图 4 所示为柱形极板电容器 内外极板的 图 4 柱形极板电容器 半径分别为 R1 R2 圆
10、心角 为 高度为 L 在两极板间任一位置取 半径为 r 圆心角为 高度为 L 的柱面 它与其同心 圆心 角及高度均相同但半径为 r dr 柱面间形成一微电容 器 在 dr 极小时这一电容器 也可视为平行板电容器 电 容 dC 0 Lr dr 因图 4 所示的电容器可认为由上述微电容器串联 而成 所以总电容为 C 1 R2 R1 1 dC 1 R2 R1 1 0 Lr dr 1 R2 R1 dr 0 Lr 1 1 0 L R2 R1 dr r 0 L ln R2 R1 因此柱形极板电容器的电容计算公式为 C 0 L ln R2 R1 8 显然 当 2 时 为圆柱电容器的电容 即公 式 3 的形式
11、 3 结束语 平行板电容器是一种基本类型的电容器 对 于平面极板且上 下极板面积相等的情况 电容器 电容的计算可以直接利用现成公式 对于球面 柱 面极板 极板形状不规则 且极板上 下面积不同 的情况 我们可以借助电容器的串联规律及高等 数学的微积分知识进行求解 参 考 文 献 1 梁灿彬 秦光戎 电磁学 北京 高等教育出版社 1984 2 杨仲耆 大学物理学 北京 高等教育出版社 1985 3 王利敏 非平行板电容器电容的又一算法 大学物理 2006 4 4 葛松华 非平行板电容器电场和电容的另一种计算 大学 物理 2004 11 5 郑民伟 非平行板电容器电容和电场的一种计算 大学物 理 2001 2 60
