对数的概念 教学设计张萍

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1、 对数的概念 教学设计 张 萍 南京师范大学附属中学 教材分析 对数的概念 这节课是苏教版必修 第 章 对数函数第 课时 学习对数的概念是对指数概 念和指数函数的回顾与深化 对数概念的学习 不 仅为对数函数的学习做好知识基础 还为今后的 复数概念的学习提供研究方法 学情分析 高一学生已经学习了函数的概念 函数的表 示方法与函数的一般性质 对函数有了初步的认 识 学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学 习 了解了研究函数的一般方法 经历过从特殊到 一般 具体到抽象的研究过程 对数的概念对学生来说 是全新的 需要教师 引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对 数的概念 在教学过程中 力求让学生体

2、会运用从 特殊到一般 类比等数学方法来理解对数式与指 数式之间的内在联系 将对数这一新知纳入已有 的知识结构中 教学目标 理解对数的概念 会熟练地进行指数式与 对数式的互化 学生在解决具体问题中体会引入对数的 必要性 在举例过程中理解对数 学生在学习过程中感受化归与转化 数形 结合 特殊到一般的数学思想 学会用相互联系的 观点辩证地看问题 重点与难点 重点 对数的概念 对数式与指数式的互化 难点 对数概念的形成 教学方法与教学手段 问题教学法 启发式教学 教学过程 创设情境 建构概念 某种放射性物质不断变化为其他物质 每经 过 年 这种物质剩留的质量是原来的 设 该物质最初的质量为 问题 你能

3、就此情境提出一个问题吗 设计意图 通过学生熟悉的问题情境 让学 生自主地提出问题 引发思考 体会这些问题之间 的关联是指数式 中已知两个量求第三个量 教学过程 师 写好的同学请和同桌交流一下 师 你提的是什么问题呢 生 经过 年 这种物质的剩留量为原来的 多少 师 是多少呢 生 师 有不同的问题吗 生 经过多少年 这种物质的剩留量为原来的 一半 师 这个问题怎么解决呢 师 同学们提出了很好的问题 这两个问题实 际上都与我们学过的指数函数 有关 第 一个问题是已知指数 求幂 第二个问题是已 知幂 求指数 如果底数是未知的 那么 我们 还可以解决已知指数 和幂 求底数 的问题 阶段小结 这些问题实

4、际就是在研究 其中 且 中已知两个量求第三个量 我们可以研究以下三类问题 设 已知 求 比如 已知 求 数学通报 年 第 卷 第 期 比如 槡 已知 求 问题 这样的指数 有没有呢 设计意图 利用具体的问题引发学生的认知 冲突 引导学生运用数形结合的方法探索指数 是存在的 并且只有一个 进而想办法用数学符号 表示指数 教学过程 生 这个问题和指数函数 有关 我们可以作出它的图象来观察 师 作出 与 的图象 发现它们有 交点 而且只有一个 那么指数 在哪里呢 生 交点的横坐标就是指数 师 看来满足 的指数 可由 和 唯 一确定 但它究竟是个什么数呢 现在用我们学 过的数又不能把它写出来 怎么办呢

5、 生 用一个新的符号来表示它 师 是的 数学家也是这么想的 他们解决这 种问题的办法就是引进一个新的符号 比如这里 的 等于什么呢 数学家就用 槡 来表示 是由 和 确定的 将 和 写在相应的位置 师 现在如何表示这里的指数 呢 指数 由 和 确定 数学家用 来表示 读作以 为底 的对数 其中 为底数 写在下方 叫真数 师 有了这个符号 就可以解决我们刚才的问 题了 师 你能再举一些这样的对数吗 生 师 这里的 能用对数表示吗 生 师 同样这里的 也可以表示为 对数 其实就是一个数 思考 根据这些具体的例子 你能得到一般情 况下 对数是怎么表示的吗 对数的概念 如果 的 次幂等于 其中 即 那

6、么就称 是以 为底 的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 数学史简介 对数是由 世纪苏格兰数学家 纳皮尔发明的 有兴趣的同学可以查阅相关的数 学史资料 师 根据对数的概念 我们不难发现 对数来 源于指数 这两个等式表示的是 三个量之 间的同一个关系 只是表现形式不同而已 比如在 中 叫底数 叫指数 叫 幂 当变为对数式时 的范围不变 还叫底数 指数 现在叫对数 幂 现在叫真数 具体实例 理解概念 学生活动 请每位同学写出 个对数 与 同桌交流 设计意图 深入理解对数 第一阶段 让学生 体会对数可以转化为指数 对数式和指数式是等 价的 第二阶段 认识特殊的对数 明确对数式中 的范围 教学

7、过程 师 大家都在积极地认识对数这个新朋友 我 们一起来看看 有同学写了这样一个对数 你知道它是个什么样的数吗 师 为什么等于 呢 生 因为 师 还有同学写了 这是个什么数啊 生 师 为什么 生 因为 师 想认识对数只要将它转化为相应的指数 式就容易理解了 师 我也写一个 这是个什么数呢 生 不知道 师 你知道它大概是多大吗 生 到 之间 师 你怎么知道的呢 生 因为 在 和 之间 年 第 卷 第 期 数学通报 师 你是将问题转化为指数问题来考虑的 我们知道对数就是一个数 可以设它为 转化为 就好理解了 阶段小结 其实想要认识同学写的对数 只 要将它转化为相应的指数式就明白了 指数式和 对数式

8、是可以等价转化的 师 看大家写的对数有大于 的 有小于 的 有没有等于 的对数呢 生 师 还有吗 生 只要底数取 真数为 的对数 都等于 师 怎么表示呢 生 师 为什么 生 因为 师 是个特殊的指数式 还有其他特殊 的指数式吗 生 师 由这个我们又能得到什么样的对数式呢 生 师 对数可正可负可为 那对数是否能取到 所有的实数呢 生 是的 师 你怎么知道的呢 生 从指数式 其中 且 中 我们可以知道 师 对数 可以取到一切实数 底数 真数 应满足什么要求呢 生 大于 生 在 且 时 根据指数函 数的值域可知 只能取大于 的数 阶段小结 通过讨论 我们认识了一些特殊 的对数 知道对数 可以取到一切

9、实数 但是真数 必须大于 在认识对数的过程中 我们运用 了对数式与指数式之间的等价转化 概念应用 方法总结 练习 求下列各式的值 设计意图 理解对数是个数 对数问题 可以转化为指数问题来解决 反思解题过程 从中得到两个对数性质 且 为对数求值提供新的方法 激起学 生进一步探索对数相关结论的兴趣 介绍常用 对数和自然对数 教学过程 师 回头看第 个问题的解决过程 你有什么发现 师 一般情况下 对吗 生 对 因为 师 在 这个式子中 真数 变成了 相当于将指数式 带入对数式 消去 现在如果将对数式 带入指数 式 消去 会得到什么呢 生 且 师 从第 小题中 你又会有什么发现呢 对 数还有很多有趣的

10、性质 有兴趣的同学可以继续 研究 师 大家看第 小题底数是 我们通常将 以 为底的对数叫常用对数 简记为 以后在高等数学和物理学中还会经常用到 以 为底的对数 叫做自然对数 比 如 问题 什么是对数 研究对数的基本方法 是什么 设计意图 回顾反思本节课学习的知识和方 法 主要让学生体会研究一个新数的一般方法 即 生 对数就是一个数 遇到对数问题转化为指 数问题来解决 师 很好 我们通过一些具体的例子得到了对 数的概念 又通过举例和练习进一步认识了对数 在认识的过程中 发现遇到对数的问题可以转化 为指数问题来解决 这两个式子是等价的 表示的 是 这三个量之间的同一种关系 师 既然对数就是一个数

11、你觉得下面我们可 以研究什么 生 对数的运算 师 那如何研究对数的运算性质呢 请同学 们先回去思考 我们下节课再研究 下转第 页 数学通报 年 第 卷 第 期 立了实质性的非人为的联系 体现知识结构的整 体性 生成性 问题引领 应用反思更深刻 由 你有什么发现 它有一般性吗 如果将对 数式 带入 指数 式 消去 会得到什么呢 练习环节的实施 主要考查学生对概念的应 用 方法的迁移 巩固指 对数式的等价转化 但张 老师不仅仅停留在具体题目的求解上 以启发式提 问引导学生回头看 把对数性质发现的机会留给学 生 又一次让学生经历由特殊到一般归纳的过程 什么是对数 研究对数的基本方法是 什么 对数是一

12、个数 下面我们可以研究什么 那如何研究对数的运算性质呢 请同学 们思考 下节课继续研究 课堂小结中 不再是由老师 贴标签 式总结 而是以问题串的形式引领学生回顾反思整节课的 学习研究过程 进一步提炼认知主体的自我建构 更加重视认知主体 我 的感受 体验 倾听 我 的 陈述 并为后续学习做好铺垫 使学生体会研究数 学新对象一般方法 通过对话 让学生从概念层面 谈理解 从方法层面谈提升 从思想层面谈认识 如此 概念的建构就越发得丰满 领悟就越发得深 刻 教学就越发得有效 参考文献 曹才翰 章建跃 数学教育心理学 第二版 北京 北京师 范大学出版社 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验

13、北京 人民教育出版社 章建跃 陶维林 概念教学必须体现概念的形成过程 平 面向量的概念 的教学与反思 数学通报 李兴贵 王富英 数学概念学习的基本过程 数学通报 上接第 页 分层作业 因材施教 必做题 课本 练习第 题 选做题 探究对数的运算性质 设计意图 分层布置作业 必做题 面向全 体学生 旨在掌握对数的概念 熟练对数式与指数 式的互化 选做题 给学生提供进一步自主研究 对数的机会 教学设计说明 对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的 概念 此前 学生已学习了指数及指数函数 明白 了指数运算是已知底数和指数求幂值 而对数则 是已知底数和幂值求指数 二者是互逆的关系 对 数的概念的学习 既加

14、深了学生对指数的理解 又 为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充 分准备 起到了承上启下的重要作用 对数概念的获得 应符合学生认知规律 教师 不能直接抛出定义 教材所呈现的 是经过数学家 整理过的数学知识 不一定完全符合学生的认知 习惯 不可照本宣科 利用情境问题 教师引导学 生提出问题 使学生产生认知冲突 从而认识到引 入对数概念的必要性 教师引导学生举出类似的例子 归纳共同特 征 获得对数概念 通过揭示对数式与指数式的关 系 让学生体会到对数式与指数式的等价 从而体 现了将对数问题与指数问题互相转化来解决的思 想方法 进而将抽象的对数概念具体化特殊化 引 导学生进一步认识对数 学习的过

15、程就是一个不断地提出问题 解决 问题的过程 提出问题比解决问题更重要 教师应 给学生提供由自己提出问题 选择研究方法的机 会 逐渐学会研究问题 促进能力发展 学生尚未 完全掌握学习一个新的数学概念的一般方法 在 学习过程中 教师应及时补充启发性提示语 帮助 学生理解特殊化的意义 进行阶段性小结 以帮助 学生明确研究一个新的数学对象的一般方法 对于能力较强的学生 可引导他们尝试证明 归纳出来的性质 经历数学研究的完整过程 教学过程中 应充分发动学生 通过举例 说 理 交流等活动 提供学生充分展示思维的机会 通过总结一般方法 促进学生体验由特殊到一般 的思维过程 针对不同学生的需求布置分层作业 不仅能 帮助学生进一步掌握本课知识 还能帮助学生形 成研究新对象的一般步骤和方法 年 第 卷 第 期 数学通报