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1、小学奥数 工程问题 工程问题是研究工作效率 工作时间和工作总量之间相互关系的一 种应用题 我们通常所说的 工程问题 一般是把工作总量作为单 位 1 因此工作效率就是工作时间的倒数 它们的基本关系式是 工作总量 工作效率 工作时间 工程问题是小学分数应用题中的一个重点 也是一个难点 下面列 举有关练习中常见的几种题型 分别进行思路分析 并加以简要的评 点 旨在使同学们掌握 工程问题 的解题规律和解题技巧 工程问题的基本思路 工程问题的基本数量关系是 工作效率 工作时间 工作总量 工作总量 工作时间 工作效率 工作总量 工作效率 工作时间 上面这些数量关系式是在题目中给出 或间接给出 工作总量和工
2、 作效率的具体数量情况下进行解题用的 如果题目中没有给出工作总量的具体数量 也没有给出工作效率的 具体数量 那么我们通常把工作总量看作整体 1 工作效率表示单 位时间内完成工作量的几分之几 例1一项工程 由甲工程队修建 需要12天 由乙工程队修建 需 要20天 两队共同修建需要多少天 思路说明 把这项工程的工作总量看作 1 甲队修建需要 12天 修建1天完成这项工程的1 12 乙队修建需要20天 修建1天完 成这项工程的1 20 甲 乙两队共同修建1天 完成这项工程的1 12 1 20 2 15 工作总量 1 中包含了多少个2 15 就是两队共同 修建完成这项工程所需要的天数 1 1 12 1
3、 20 1 2 15 15 2 天 设这项工程的全部工作量为60 12和20的最小公倍数 甲队一 天的工作量为60 12 5 乙队一天的工作量为60 20 3 甲 乙两队 合建一天的工作量为5 3 8 用工作总量除以两队合建一天的工作 量 就是两队合建的天数 60 60 12 60 20 60 5 3 60 8 15 2 天 评点这是一道工程问题的基本题 也是工程问题中常见的题型 上 面列举的两种解题方法 前者比较简便 这种解法把工作量看 作 1 用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率 用工作总 量除以工作效率和 就可以求出完成这项工程所需的时间 工程问题一 般采用这种方法求解 例2一项工
4、程 甲队独做8天完成 乙队独做10天完成 两队合做 多少天完成全部工程的3 4 思路说明 把这项工程的工作总量看作 1 甲队独做8天完 成 一天完成这项工程的1 8 乙队独做10天完成 一天完成这项工程 的1 10 甲 乙两队合做一天 完成这项工程的1 8 1 10 9 40 工作总量 1 中包含多少个甲乙效率之和 就是甲乙合做所需要 的天数 甲乙合做所需时间的3 4 就是甲乙合做完成全部工程的3 4 所需的时间 1 1 8 1 10 3 4 1 9 40 3 4 10 3 天 把甲 乙两队合做的工作量3 4 除以甲 乙两队的效率之和1 8 1 10 9 40 就是甲乙合做完成全部工程的3 4
5、所需要的时 间 3 4 1 8 1 10 3 4 9 40 10 3 天 评点思路 是先求出两队合做一项工程所需的时间 再用乘法求出 完成全部工程的3 4所需的时间 思路 是把 3 4 看作工作总量 工作总量除以两队效率之和 就可以求出完成全部工程的3 4所需的时 间 两种思路简捷 清晰 都是很好的解法 例3东西两镇 甲从东镇出发 2小时行全程的1 3 乙队从西镇出 发 2小时行了全程的1 2 两人同时出发 相向而行 几小时才能相 遇 思路说明 由甲2小时行全程的1 3 可知甲行完全程要2 1 3 6 小时 由乙2小时行全程的1 2 可知乙行完全程要2 1 2 4 小时 求出了甲 乙行完全程各
6、需要的时间 时间的倒数便是 各自的速度 进而可求出两人速度之和 把东西两镇的路程看 作 1 除以速度之和 就可求出两人同时出发相向而行的相遇时 间 综合算式 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 6 1 4 1 5 12 12 5 小时 由甲2小时行了全程的1 3 可知甲每小时行全程的1 3 2 1 6 由乙2小时行全程的1 2 可知乙每小时行全程的1 2 2 1 4 把东西两镇的路程 1 除以甲 乙的速度之和 就可得到两人同 时出发相向而行的相遇时间 综合算式 1 1 3 2 1 2 2 1 1 6 1 4 1 5 12 12 5 小时 评点本题没有直接告诉甲 乙行完全程各需的时间 所
7、以求出甲 乙行完全程各需的时间或各自的速度 是解题的关键所在 例4一项工程 甲 乙合做6天可以完成 甲独做18天可以完成 乙 独做多少天可以完成 思路说明 把一项工程的工作总量看作 1 甲 乙合做6天可 以完成 甲 乙合做一天 完成这项工程的1 6 甲独做18天可以完 成 甲做一天完成这项工程的1 18 把甲 乙工作效率之和 减去甲 的工作效率1 18 就可得到乙的工作效率 1 6 1 18 1 9 工作 总量 1 中包含了多少个乙的工作效率 就是乙独做这项工程的需要 的时间 1 1 6 1 18 1 1 9 9 天 评点这是一道较复杂的工程问题 是工程问题的主要题型之一 主 要考查同学们运用
8、分数的基本知识及工程问题的数量关系 解决实际问 题的能力 解答这类工程问题的关键是 先求出独做的队或个人的工作 效率 然后用工作总量 1 除以一个队或个人的工作效率 就可以求 出一个队或个人独做的工作时间 有的同学在解这道题时 由于审题马虎 而且受基本工程问题解法 的影响 错误地列成 1 1 6 1 18 这是同学们应引起注意的 地方 例5加工一批零件 单独1人做 甲要10天完成 乙要15天完成 丙 要12天完成 如果先由甲 乙两人合做5天后 剩下的由丙1人做 还要 几天完成 思路说明 题目要求剩下的工作量由丙1人做 还要几天完成 必须知道剩下的工作量和丙的工作效率 加工一批零件 单独1人做
9、甲要10天完成 甲一天加工一批零件 的1 10 乙要15天完成 乙一天加工一批零件的1 15 丙要12天完 成 丙一天加工一批零件的1 12 甲 乙合做一天 完成这批零件的1 10 1 15 1 6 合做5天完成这批零件的1 6 5 5 6 工作总 量 1 减去甲 乙合做5天的工作量 就得到剩下的工作量 把剩下的 工作量除以丙的工作效率 就可以求出剩下的工作量由丙1人做还要几 天完成 综合算式 1 1 10 1 15 5 1 12 1 1 6 5 1 12 1 6 1 12 2 天 评点这是一道较复杂的工程问题 是工程问题中的主要题型之一 也是升学或毕业考试中最常见的试题之一 它的特点是求剩余
10、部分的工 作量完成的时间 关键是正确求出剩余部分的工作量 从工作总 量 1 中减去已完成的工作量 就是剩余部分的工作量 有的同学由 于审题不细 又受前面几例工程问题的解法的影响 容易错误地列成 1 1 10 1 15 5 1 12 例6一件工程 甲 乙合作6天可以完成 现在甲 乙合作2天后 余下的工程由乙独做又用8天正好做完 这件工程如果由甲单独做 需 要几天完成 思路说明 一件工程 甲 乙合作6天可以完成 可知甲 乙合 作1天完成这件工程的1 6 甲 乙合作2天 完成这件工程的1 6 2 1 3 用工作总量 1 减去甲 乙合作2天的工作量1 3 所得的差 1 1 3 2 3 就是余下的工作量
11、 又知余下的工程由乙独做用了8天 正好做完 用余下的工作量除以8 就可以求出1天的工作量 即乙的工 作效率 把甲 乙工作效率之和减去乙的工作效率 就可得到甲的工作 效率 求出了甲的工作效率 只要把工作总量 1 除以甲的工作效 率 就可得到甲独做这件工程所需要的天数了 综合算式 1 1 6 1 1 6 2 8 1 1 6 1 1 3 8 1 1 6 2 3 8 1 1 6 1 12 1 1 12 12 天 评点这也是一道复杂的工程问题 解题的关键是正确求出甲的工作 效率 要求出甲的工作效率 解题的步骤较多 只有熟悉和掌握工程问 题的结构特点和解题思路 熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的 技能
12、 技巧 才能正确顺利地解答本题 例7完成一件工作 需要甲干5天 乙干6天 或者甲干7天 乙干2 天 问 甲 乙单独干这件工作各需多少天 分析与解答 分析 先对比如下 一项工作甲干5天 乙干6天 或甲干7天 乙干2天 显而易见甲干 2天的工作量 若换成乙干 则需要4天 因此 甲干1天的工作量 若 换成乙来干 则需要2天 解答 甲完成这件工作需要的天数 5 6 2 8 天 乙完成这件工作需要的天数 5 2 6 16 天 评注 我们在解难题无从下手时 不妨把题目所交代的条件罗列下 来 认真地观察 比较 有时会柳暗花明的 本题运用了整体代换的数 学思想 使题目的解答巧妙 简练 更具创造性 例8一件工程
13、 甲队单独做12天可以完成 甲队做3天后乙队做2天 半可完成一半 现在甲 乙两队合做若干天后 由乙队单独完成 做完 后发现两段所用时间相等 问 共用多少天 分析与解答 分析 甲队的工作效率的1 12 乙队的工作效率是1 8 甲 乙两 队的工作效率和是1 8 1 12 5 24 由于甲 乙两队合做的时间与乙队 单独做的时间相同 所以甲 乙两队合做的工作量与乙队独做的工作量 之比是 1 8 1 12 1 8 5 3 解答 乙队的工作效率 1 2 1 12 3 2 1 8 甲 乙两队合做工作量是这件工程的5 8 乙队单独做的工作量是这 件工程的3 8 完成这件工程的总天数 3 8 1 8 2 6 天
14、 说明 适时 恰当地运用正 反比例概念 会使问题简单化 例9师徒两人共同加工一批零件 师傅每小时加工9个 徒弟每小时 加工5个 完成任务时 徒弟比师傅少加工120个 这批零件共有多少 个 分析与解答 分析 徒弟每小时比师傅少加工4个零件 徒弟比师傅少加工120个 零件需要120 4 30小时 那么这批零件的总个数是 9 5 30 420 个 例10一件工程 甲 乙合做需6天完成 乙 丙合做需9天完成 甲 丙合做需15天完成 现在甲 乙 丙三人合做 需多少天完成 分析 由已知条件可知 甲 乙的工作效率和是1 6 乙 丙的工作 效率和是1 9 甲 丙的工作效率和是1 15 1 6 1 9 1 15
15、 31 90 这是甲 乙 丙三人工作效率和的2倍 甲 乙 丙三人的工作效率和 是31 90 2 31 180 那么甲 乙 丙三人合做需要的天数是 1 31 180 180 31天 例11一件工程 甲单独做要12小时完成 乙单独做要18小时完成 如果先由甲工作1小时 然后由乙接替甲工作1小时 再由甲接替乙工作 1小时 两人如此交替工作 那么完成任务用了多少小时 分析 由已知条件可知甲的工作效率是1 12 乙的工作效率是 1 18 先由甲工作1小时 然后由乙接替甲工作1小时 看作是甲 乙合 做1小时 可得甲 乙合作完成任务需要的时间是1 1 12 1 18 36 5小时 实际上可以理解为甲工作了7
16、小时 乙工作了7小时 剩下 的1 36的工作由甲再单独完成 例12甲 乙 丙三队要完成A B两项工程 B工程的工作量比A工程 的工作量多1 4 甲 乙 丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20 天 24天 30天 为了同时完成这两项工程 先派甲做A工程 乙 丙 两队共同做B工程 经过几天后 又调丙队与甲队共同完成A 结果A B 两项工程同时完成 问 丙队与乙队合作了多少天 分析 令A工作总量为1 则B工程的工作总量是5 4 A B两项工程 的工作总量是9 4 则甲 乙 丙三队完成A B两项工程的时间就可以 求出 是9 4 1 20 1 24 1 30 18天 乙队干18天的工作量为 1 24 18 3 4 剩下的5 4 3 4 1 2就是丙做的 1 2 1 30 15天 说明 正确地区分整体与部分的关系 会使我们准确 全面地把握 问题 本题就是把A B两项工程看作一个整体来思考 不要把A B两项 工程分开 例13一水箱 用甲 乙 丙三个水管往里注水 若只开甲 丙两 管 当甲管注入18吨水时 水箱已满 若只开乙 丙两管 乙管注入27 吨水时 水箱才满 又知 乙管每分钟的注水量是甲管每分钟
