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1、 第八届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校 清华大学 满分 120 分 时间 3 小时 30 分钟 一 看似简单的小试验 30 分 某学生设计了三个力学试验 其条件和器材很简单 已知光滑半圆盘质量为m 半径为r 可在水平面上左右移动 坐标系Oxy与半圆盘固结 其中O为圆心 x轴 水平 y轴竖直 小球 1 2 3 i P i 的质量均为m 重力加速度g平行于y轴向下 不考虑空气阻力和小球尺寸 每次试验初始时刻半圆盘都处于静止姿态 1 如果她扔出小球 1 P 出手的水平位置 0 xr 但高度 速度大小和方向均 可调整 问小球 1 P能否直接击中半圆盘边缘最左侧的A点 证明你的结论 6 分 2
2、如果她把小球 2 P从半圆盘边缘最高处B点静止释放 由于微扰动小球向右 边运动 求小球 2 P与半圆盘开始分离时的角度 12 分 3 如果她让小球 3 P竖直下落 以 0 v的速度与半圆盘发生完全弹性碰撞 碰撞 点在45 处 求碰撞结束后瞬时小球 3 P与半圆盘的动能之比 12 分 二 组合变形的圆柱体 20 分 圆柱AB的自重不计 长为L 直径为D 材料弹性模量为E 泊松比为 剪切屈服应力为 s 其中圆柱A端固定 B端承受引起 50 剪切屈服应力的扭矩 T M 作用 1 求作用于圆柱上的扭矩 T M 6 分 2 应用第三强度理论 最大剪应力理论 求在圆柱B端同时施加多大的轴向 拉伸应力而不产
3、生屈服 6 分 3 求问题 2 情况下圆柱体的体积改变量 8 分 三 顶部增强的悬臂梁 30 分 有一模量为 1 E的矩形截面悬臂梁AB A端固定 B端自由 梁长为L 截面 高度为 1 h 宽度为b 梁上表面粘着模量为 21 2EE 的增强材料层 该层高度 21 0 1hh 长度和宽度与梁AB相同 工作台面D距离B端下表面高度为 在B 端作用垂直向下的载荷 P F 不考虑各部分的自重 1 求组合截面中性轴的位置 6 分 2 求使梁B端下表面刚好接触D台面所需的力 P F 8 分 3 求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力 6 分 4 计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图 10 分 四 令人
4、惊讶的魔术师 20 分 一根均质细长木条AB放在水平桌面上 已知沿着AB方向推力为 1 F时刚好能 推动木条 但木条的长度 重量和木条与桌面间的摩擦因数均未知 魔术师蒙着眼睛 让观众把N个轻质光滑小球等间距地靠在木条前并顺序编号 设N充分大 然后如图在任意位置慢慢用力推木条 要求推力平行于桌面且垂直 于AB 当小球开始滚动时 观众只要说出运动小球的最小号码 min n和最大号码 max n 魔术师就能准确地说出推力的作用线落在某两个相邻的小球之间 魔术师让观众撤去小球后继续表演 观众类似前面方式在任意位置推动木条 只 要说出刚好能推动木条时的推力 2 F 魔术师就能准确地指出推力位置 1 简单
5、说明该魔术可能涉及的力学原理 4 分 2 如何根据滚动小球的号码知道推力作用在哪两个相邻小球之间 12 分 3 如果观众故意把 2 F错报为 1 22F 魔术师是否有可能发现 4 分 五 对称破缺的太极图 20 分 某宇航员在太空飞行的空闲时间 仔细地从一块均质薄圆板上裁出了半个太极图 形 并建立了与图形固结的坐标系Oxz 他惊奇地发现 虽然该图形不具有对称性 但仍具有很漂亮的几何性质 惯性矩 xz II 他怀疑上述性质是否具有普遍性 于是随意地将Oxz坐标系绕O点转动 角 得到新的坐标系 Ox z 仍然发现 xz II 接着他发现该图形在太空失重情况下不可能绕z轴平稳地旋转 看到手边正好有
6、一些钢珠 质量分别为 1 16 1 2 16 i mm ii 其中m是半太极图形的质量 他想尝试把钢珠粘在图形上 1 试证明该图形 xzxz IIII 是否成立 10 分 2 不考虑钢珠的尺寸和粘接剂的质量 是否可能在某处粘上一颗钢珠后 图 形就能平稳地绕z轴旋转 简要说明理由 10 分 1 第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 一 看似简单的小试验 30 分 1 小球 1 P不可能直接击中 A 点 证明见详细解答 2 小球 2 P与圆盘开始分离时的角度arcsin 31 47 3 碰撞结束后瞬时小球 3 P与半圆盘的动能之比为 5 4 二 组合变形的圆柱体 20 分 1 3 1 32
7、Ts MD 2 在柱B端同时施加3 s的轴向拉伸应力不产生屈服 3 圆柱体的体积改变量 2 1 4 12 VD LE 三 顶部增强的悬臂梁 30 分 1 组合截面中性轴的位置 1 0 592 C yh 形心为0 C z 1 0 592 C yh 2 使梁B端下表面刚好接触C台面所需的竖向力为 33 11 0 4 P FEbhL 3 不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为 top22 Q11 0 28 FE bhL 4 梁的剪应力为 223 3 12 C EyyL 沿梁截面高度的分布图见详细解答 四 令人惊讶的魔术师 20 分 1 力学原理 沿不同方向推动木条时 需要的推力大小不同 木条
8、运动的方式也不同 沿 AB 推 推力 1 F最大 木条平动 垂直 AB 在不同位置推动木条 木条绕不同的点转动 且推力 2 F的大小 转动位置均与推力位置有关 2 根 据 滚 动 小 球 的 号 码 信 息 推 力 位 置 位 于 1num num 号 小 球 之 间 且 22 max max 2 42 nQ num nQ 取整 注意 1 1QN or Nor N 均算正确 3 设 21 FF 0 0 414 不可能出现 当 0 414 0 828 时 观众如果故意把 2 F错报为 1 22F 一定会被魔术师发现 若 0 828 1 时 观众故意报错不会被发现 五 对称破缺的太极图 20 分
9、1 xzxz IIII 成立 见详细解答 2 在 0 xr z 处粘上质量为 1 4m的配重 图形就可以在空中绕 Z 轴稳定地转动 2 详细解答及评分标准 总体原则 1 计算题的某一小问 只要最后结果正确且有适当的步骤 就给全分 2 如结果不正确 则参考具体的评分标准 3 如结果不正确且方法与参考答案不一样 各地自行统一酌情给分 4 证明题需要看过程 一 看似简单的小试验 30 分 解 1 小球出手后开始作抛物线运动 可以证明 在题目所给条件下 小球击中 A 点之 前 一定会和圆盘边缘上其它点碰撞 即小球不可能直接击中 A 点 证明 如果想求出抛物线与圆的交点表达式 会很复杂 下面采用很简单的
10、方法 圆盘的边界轨迹为 222 xyr 在 A 点右边的xrx 处 设x 为一阶小量 圆 盘的高度为 222 1 rxyr 22 1 2yr xx 略去高阶小量 即 0 5 1 yx 小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 2 ya xbc 的形式 a b c 与初始条件有 关且均为正值 在xrx 处 抛物线的高为 2 2 yarxbc 假设抛物线过 A 点 则有 2 0 arbc 因此有 2 2 2 ya rbxa x 略去高阶小量 即 2 yx 即在 A 点之前 xrx 处 抛物线的高度是 1 阶小量 而圆盘的高是 0 5 阶小量 所以圆盘比抛物线高 因此小球在击中 A 点前一定会先与圆盘上某点
11、发生碰撞 不可能直接 击中 A 点 2 建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy重合 可以用不同的方法求解 系统水平方向动量守恒 sin 0mxm xr 1 1 结论 3 分 证 明 方 法 不 限 结论错误 0 分 结论正确且能 够证明 3 分 结论正确但证 明不完善 1 分 1 分 3 系统机械能守恒 2222 11 22 2sin sinmxm xxrrmgrmgr 1 2 拆开系统 对小球由水平方向质心运动定理 cosmxN 1 3 由 1 1 和 1 2 得到 1 2 sinxr 2 2 4 1 sin 2sin g r 1 4 对 1 4 中的速度和角速度求导有 2 11 22 sinco
12、sxrr 2 22 2cos 2sin2sin 2sin g r 1 5 把 1 5 代入 1 3 有 3 2 2 4sin6sin 2sin mg N 1 6 下面求小球正好脱离圆盘的位置 即求 3 4sin6sin0 的解 设sinx 3 64yxx 一般情况下三次方程的解不好求 但是本题比较好求 把 x 3 2 1 0 1 2 3 代入 可以看出 x 在 3 2 之间 0 1 之间以及 x 2 处有三个解 见 下图 根据三角函数的特点 0 1 之间的解有意义 注意到 x 2 是一个解 所以设 32 64 2 2 xxxxx 容易求出2 问题变为求 2 220 xx 在 0 1 之间的解
13、为31x 因此arcsin 31 47 时 小球与圆盘压力为零 正好分离 3 为了求出碰撞后的速度 可以用不同的方法 以碰撞点处的法向 n 和切向 为坐标 轴构成 x y 得到速度或角 速度 1 分 得到加速度或 角加速度 2 分 得到压力与角 度的正确表达 式 3 分 得到角度的正 确表达式 3 分 1 分 1 分 4 碰撞前小球的绝对速度在 x y坐标系中为 T 00 sin cos x y vvv 设碰撞后小球 的绝对速度为 T n x yx yx y vvv 碰撞时以小球为研究对象 由于圆盘光滑 小球切向速度不变有 0cosx y vv 1 7 法向速度满足恢复系数关系 设圆盘以速度u
14、后退运动 在 x y坐标系中为 T cos sin x y uuu 根据碰撞定义 有 0 cos sin n x y vu e v 1 8 同时根据系统水平动量守恒 有 cossin n x yx y uvv 1 9 联立 1 7 1 8 1 9 解出 2 0 2 sin cos 1 cos n x y ve v 0 2 1 sincos 1 cos ve u 1 10 小球的动能 22 11 1 22 n x yx y Tm vm v 半圆盘的动能 2 1 22 Tmu 代入1e 和45 所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为 12 5 4T T 1 11 二 组合变形的圆柱体 20
15、分 解 1 在扭矩作用下 圆柱外表面产生最大剪应力 其值为 50 是剪切屈服应力 由扭 转内力和应力公式计算得到 3 2 16 sTT P MM DW 3 32 Ts D M 2 1 2 在圆柱外表面有最大应力 在剪切和轴向拉伸作用下 平面应力状态的主应力表达式为 2 分 可以带入 角度 如果坐 标 系 选 取 不 同 或符号不 同 只要正确 即可 下面类 似处理 2 分 1 分 2 分 2 分 3 分 4 分 2 分 5 2222 123 11 4 0 4 2222 应用第三强度理论 最大剪应力强度理论 有 22 13 max 1 4 22 2 2 以剪应力 2 s 和拉伸应力 代入 2 2
16、 式 屈服将发生在当拉伸应力 达到 22 max 22 s s 2 3 故 3 s 2 4 3 根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定 扭转作用不引起体积改变 仅考虑轴向 拉伸作用下的体积改变量 利用功的互等定理 建立另一均匀压强p作用下的圆柱体 考虑小 变形 圆柱轴向拉伸力为 2 4FD 与另一圆柱的伸长变形 L p功共轭 由功的互 等关系 FL pp V F 2 5 式中 1 L pL 均匀压强p作用下的圆柱体 三个主应力均为 123 p 轴向伸长应变为 1123 1 1 2 p EE 2 6 代入 2 5 式 有 1 2 FpL p V F E 从而得到体积改变量 2 1 21 2 4 FLD L V F EE 2 7 三 紧密结合的复合梁 30 分 解 注意 计算结果保留小数点后 2 位即可以 答案中保留了小数点后 3 位 答案如包含中间过程的参数 只要正确 也同样给分 1 建立如下坐标系 如果坐标系不同 只要结论正确 不扣分 3 分 1 分 2 分 1 分 1 分 2 分 4 分 方法不限制 6 先计算折算面积和截面几何性质 换算为同样模量 1 E材料的 T 形截面 求截面形心
