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1、2 0 0 9年第 4期 河北理科教 学研究 考试指导 从近两年高考谈用数学归纳法解物理高考题 湖北省阳新县高级 中学柯岩4 3 5 2 0 0 湖北省阳新三中 龚介群4 3 5 2 0 0 理科综合物理学科 的考试说 明要求学生 加强应用数学知识处理物理问题的能力 如 利用函数关系 不等式关系 判别式法求极 值问题 将物理现象抽象转化为数学表达式 求轨迹问题 用数学归纳法思想写出多过程 问题的通式再用数列知识求解等 纵观 2 0 0 7 2 0 0 8两年物理高考 中连续 出现 多次作用 问题 所谓 多次作 用 问题 是指在某些物理过程中 系统内物体 间存在着多次不 同的相互作用过程 的问题
2、 求解这类问题 往往需要使用数学归纳法先 总结出规律或先推导出一个通式 然后在此 基础上求 出问题 的解 下 面举 几例并作 剖 析 旨在说明数学归纳法在 多次作用 问 题中如何应用 例 1 2 0 0 7全 国 理综 卷 I 2 4 如 图 1 所示 质量为 m 的由 绝缘材 料制成 的小球 与质量为 M 1 9 m 的 金属 球并排 悬挂 现 将绝缘球 拉至与竖 直 图 1 方向成 0 6 0 的位置 自由释放 下摆 后在 最低点与金属球发生弹性碰撞 在平衡位置 附近存在垂直于纸面的磁场 已知 由于磁场 的阻尼作用 金属球将于再次碰撞前停在最 低点处 求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直 方 向
3、的最大角度将小于 4 5 分析 自由释放 意味着刚释放时初 速度为零 金属球将于再次碰撞前停在最 低点处 说 明每次碰前金属球都静止 通 过读题概括出题 目的三个主要过程及其中遵 循的规律 过程一 绝缘小球释放后 向下运 动过程 机 械能 守恒 过程 二 两 小球 碰 撞 动量和动能都守恒 过程三 绝缘小球 到最高点再返 回 机械能守恒 以后重复以 上过 程 解答 设小球 m 的摆线长度为 Z 小球 m在下落过程 中与 相碰之前满足机 械能 守恒 m 1 一c o s O 1 mv 0 m 和 M 碰 撞过程满足 my o M V mv l 1 mv 0 m l 2 2 联 立 上 式 得 1
4、 说明绝缘小球被反弹 而此后绝 缘小球又以反弹速度 和金属小球 发生碰 撞 满足 my l M V l my 2 1 mv 1 2 1 m 2 1 2 解 得 l Y l I 整 理 得Y 2 一 等 所 以V n I 0 4 7 2 0 0 9年第 4期 河北理科教学研究 考试指导 而偏离方 向为 4 5 的临界速度满足 mg f 1 1 一 c o s 4 5 1 my l豳 界 联立以上算式代 人数据解得 当 n 2时 2 临 界 当 n 3时 3 1 断开轻 绳 棒 和环 自由下 落 假设棒 足够长 与地 面发生 碰撞 时 触 地时 间极 短 无动能损失 棒在整个运动过程中始终 保持竖
5、直 空气阻力不计 求 I 棒第一 次与地 面碰撞弹起上 升过程 中 环 的加速 度 2 从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞 的瞬间 棒运动 的路程 S 3 从断开轻绳 到棒和环都静止 摩擦力对 环及 棒做 的总 功 分析 无动能损失 说 明棒与地碰撞 后以原来的速率反弹 棒足够长 说明环 始终未着地 第 1 2 问只要选准研究 对象 分析环棒与棒的运动过程 比较容易解 出 第 3 由于不知道棒到底与地面碰 多 少次 但题 目中出现与次数 个数等有关的 48 问题 常考虑 用归 纳法解 解答 1 设棒第一次上升过程中 环 的加 速 度 为 a T 环 受 合 力 F 环 k mg mg 由牛顿第二定
6、律 F 环 m0 环 由上式 得 n 环 k一1 g 方向竖直向上 2 以地 面为零 势能面 向上为 正方 向 棒第 一次落地 的速 度大小为 由机 械能守恒 2 my 1 2 2 mg H 解得 l 2 g H 设棒弹起后的加速 度为 a T 由牛顿第二定律 0 环 一 k 1 g 棒第一次弹起的最大高度 日l 一 解得 H 棒运动的路程 s 2日1 日 3 棒第一次弹起经过 t 时 间 与环 达到相同速度 I 环 的速度 1 1 一 l a T t 1 棒 的速度 I r l 0 环t l 环 的位 移 环 1 一 l f 1 告n 环f 1 棒的位移 棒 l 1 1 1 0 棒 l 相对
7、位 移 1 环1 一 h 棒l 解得 X I 一 棒环一起下落至地 z y l 2 2 g h 棒 解 得U 2 同 理 环第二次相对棒的位移 2 环 2 一 棒 2 一 一 环相对棒 的总位 一 一 n 一 日 0 俘 廿 移 l 2 n W k mg 得 W 一 点评 在解题 的过程中 同学要 自己独 立地探究环与棒的相对位移的规律 这就是 归纳法解题 例如本例中用牛顿定律和运动 学公式 根据物理规律写出方程式 求解出 2 0 0 9年第 4期 河北理科教 学研 究 考试指导 第 1 个物理 过程 的解 本例 中的 然后 根据 第 2 3个 物 理过 程 的结 果 如 2 s 找 出其 中
8、的规律 性 等 等 列 出 递 推 公 式 如 等 最后根据递推公 式求解未知 量 如 2 这是第 3 问的一 种常规解法 不过 若能考虑到最终棒和环 会静止 就能把多次作用过程看成一个全过 程 用能量守恒定律得到另一便捷解法 解法二 设环相对棒滑动距离为 Z 根 据能 量 守 恒 有 mg H mg Z mg Z 摩 擦 力 对 棒 及 环 做 的 总 功W 一Ii mg z 解得 W 一2 k mg 1 H 例 3 2 0 0 8 年高考四川 卷理科 综 合 能 力 测 试 2 5 题 如 图 3所示一 倾角为 4 5 的斜 面固定 于地面 斜 面顶端离地面的高 图3 度 h 0 1 m
9、斜面底端有一垂直于斜面的固 定挡板 在斜 面顶端 自由释放一质量 m 0 0 9 k g 的小物块 视为质点 小物块与斜 面之问的动摩擦因数 0 2 当小物块与 挡板碰撞后 将以原速返 回 重力加速度 g l O m s 在小物块与挡板的前 4次碰撞过 程中 挡板给予小物块的总冲量是多少 分析 自由释放 意味着初速度为零 以原速返 回 意味着每次下滑与挡板相碰 再返回 小物块 在斜 面上 的受力情况相 同 只是每次下滑时的高度 由于 摩擦生热 而 降低 不防先求出第一 二次下滑与档板相 碰过程档板小物块动量的变化 由动量定理 得出一 二次挡板对小物块的冲量表达式 观察有无规律可循 若有规律 看
10、能否写出 通 式 解法一 设 小物块从 高为 h处 由静止 开始沿斜 面向下运动 到达斜面底端时速度 为 由功 能 关 系 得mg h 1 my mg c o s O 以沿斜面向上为动量的正 方向 按动量定理 碰撞过程中挡板给小物 块的冲量 my m 一 设碰撞后 小物 块 所 能 达 到 的 最 大 高 度 为 h 则 专 m m g h m g e s 同 理 有 mg h m mg c s 0 my 一m 一 式 中 为小物块再 次到达斜面底端时的速度 为再次碰撞过 程中挡板给小物块的冲量 由 式 得 k I D 式 中 Jj 詈 由 此 可知 小物块前 4次与挡板碰撞所获得的冲 量成等
11、 比级数 首项为 l 2 m 2 g h 0 1 一 c o t O 总冲量为 l 2 3 4 l 1 k k 2 k 由 1 得 2 m r 瓦 丁 代 人 数 据 得 0 4 3 3 6 N s 解法二 设小物块从 高为 h处 由静 止 开始沿斜面向下运动 小物块受到重力 斜 面对它的摩擦力和支持力 小物块 向下运动 49 2 0 0 9年第 4期 河北理科教学研 究 考试指导 的加速度为 a 依 牛顿 第二定律得 m g s i n 0 一 g c o s 0 m0 设 小物块与挡板碰撞 前的速度为 则 2 a 以沿斜 面向上为动量的正方 向 按动量定理 碰撞 过 程 中 挡 板 给 小
12、 物 块 的 冲 量 为 mu m 一 由 式 得 2 m 2 g h 1 一 c o t 0 设小物块碰撞后 沿斜面向上运动的加速度大小为 依牛顿 第二 定 律 有 mg s i n 0一 mg c o s 0 m 小物块沿斜面 向上运动的最大高度为 h U s i n 0 由 式得 h k 2 h 式 中 v tt a n 0 z 同理 小物块再次与 挡 板 碰 撞 所 获 得的 冲 量 2 m 2 g h 1 一 l c o t 0 由 式 得 由此可知 小物块前 4次与挡板 碰撞所获得的冲量成等 比级数 首项为 2 m 2 g h 0 1 一 l c o t 0 总冲量为 1 2 3
13、4 l 1 2 由 1 得 2 m 二 代人 数据得 0 4 3 3 6 N s I 点评 以上第 一种方法 是用 能的观点 解 第二种解法是用力和运动关系解 这两 种方法学生都较熟悉 求解的关键是能用数 5 0 学归纳的思想 写第 7 次小物块 与挡板相碰 的通式 然后用数列知识求和 小结 1 数学作为工具学科 其思想 方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和 研究的过程中 为物理概念 定律的表述提 供简洁 精确的数学语言 为学生进行抽象 思维和逻辑推理提供有效方法 为物理学的 数量分析和计算提供有力工具 中学物理教 学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的 能力作 出了明确要求 2 高考物理试
14、题的解答离不开数学 知 识和方法的应用 借助物理知识渗透考查数 学能力是高考命题的永恒主题 可以说任何 物理试题的求解过程实质上是一个将物理问 题转化为数学问题经过求解再次还原为物理 结论的过程 3 凡涉及用归纳法求解 的物理 问题 具 有多过程 重复性的共同特点 但每一个重 复过程均不是原来的完全重复 是一种变化 了的重复 随着物理过程 的重复 某些物理 量逐步发生着 前后有联系的变化 该类 问题求解 的基本思路为 1 逐个分析开始 的几个物理过程 2 利用归纳法从 中找出 物理量 的变化通项公式 是解题 的关键 最后分析整个物理过程 应用数列特点和规 律解决物理问题 无穷数列 的求和 一般 是无穷递减等比数列 有相应的公式可用
