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1、题型一题型一求数值型矩阵的逆矩阵求数值型矩阵的逆矩阵 基本方法有 基本方法有 1 1 定义法 设定义法 设A A的逆矩阵为的逆矩阵为X X 由 由AX EAX E 或 或XA EXA E 求出 求出X X即可 即可 2 2 公式法 公式法 3 3 初等变换法 初等变换法 A A A 1 1 1 AEEA 4 4 分块求逆法 若分块求逆法 若A A能分成以下类型之一时能分成以下类型之一时 0 0 0 0 0 0 21 12 2221 11 22 1211 22 11 A A AA A A AA A A 当当A11 A22可逆时 可用分块求逆公式进行计算可逆时 可用分块求逆公式进行计算 本资料由R
2、UC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例例1 设设A1 A2分别为分别为m n阶矩阵 试求阶矩阵 试求 的逆矩阵 的逆矩阵 43 21 AA AA A 解 43 211 XX XX A令 得 n m EXAXA XAXA XAXA EXAXA 4423 4221 3413 3211 0 0 则 1 3 1 4211 AAAAX 1 2 1 1342 1 12 AAAAAAX 1 3 1 4213 1 43 AAAAAAX 1 2 1 1344 AAAAX 即 1 2 1 134 1 3 1
3、4213 1 4 1 2 1 1342 1 1 1 3 1 4211 AAAAAAAAAA AAAAAAAAAA A 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例例2 设设A B A B都是可逆矩阵 试求 都是可逆矩阵 试求 A 1 B 1 1 解 1 A 1 B 1 B 1 BA 1 E B 1 BA 1 AA 1 B 1 A B A 1 2 A 1 B 1 1 B A B 1A 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucf
4、uwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 题型二题型二 A为抽象矩阵 讨论为抽象矩阵 讨论A的可逆性的可逆性 1 1 证明证明A A可逆的方法可逆的方法 1 把已知矩阵等式写为AB C的形式 AB A B C 0知 A 0 从而可逆 2 证明AX 0只有零解 则 A 0 从而可逆 3 证明的特征值全不为零即可 2 2 证明证明A A不可逆的方法不可逆的方法 1 反证法 假设A可逆 再在等式两边乘以A 1 导出矛盾 2 直接计算 A 0 3 证明A有零的特征值 4 证明AX 0只有非零解 则A不可逆 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公
5、众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例例1 设设n阶矩阵阶矩阵A满足关系式满足关系式A3 A2 A E 0 证明 证明A可逆 并可逆 并 求求A 1 解 由A A3 3 A A2 2 A A E 0E 0可得可得A A A A2 2 A A E E E E 从而 A A A A2 2 A A E E A A2 2 A A E E A 1 于是 A 0 故A可逆 且A 1 A A2 2 A A E E 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例例2 设设A B
6、为为n阶矩阵 且阶矩阵 且E AB可逆 证明可逆 证明E BA可逆 可逆 解 用反证法 设E AB不可逆 则存在X 0 0 使 E AB X 0 0 即 X BAXX BAX 于是 AX ABAXAX ABAX 令Y AXY AX 则Y 0Y 0 否则若Y 0Y 0 则有X BAX BY 0X BAX BY 0 这与X 0 0矛盾 从而有 Y ABY Y 0Y ABY Y 0 即即 E AB Y 0 Y 0 0 Y 0 这与E AB可逆矛盾 故E AB不可逆 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广
7、大福粉先行谢过 题型三题型三考查矩阵运算的特殊性考查矩阵运算的特殊性 矩阵运算不满足交换律矩阵运算不满足交换律AB BA 涉 涉 及到两个矩阵是否可交换 一般联想及到两个矩阵是否可交换 一般联想 到逆矩阵的定义 但矩阵运算满足结到逆矩阵的定义 但矩阵运算满足结 合律 合律 A BC AB C 巧妙地运用结 巧妙地运用结 合律往往可以简化计算合律往往可以简化计算 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例例1 设设A B C均为均为n阶矩阵 阶矩阵 E为为n阶单位矩阵 若阶单位矩阵 若
8、 B E AB C A CA 则 则B C为 为 解 由解 由B E AB C A CA 知 知 E A B E C E A A 可见 可见 E A与与B互为逆矩阵 于是互为逆矩阵 于是B E A E 从而有从而有 B C E A E A 而而E A可逆 故可逆 故B C E 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例2 解 AAA 333 222 111 A 10042 求设 333 222 111 6A6 PQ QP QP QP QP QP PQPQPQA A636A6A6AAA
9、A 6A6PQQQPPPQPQA 6 3 2 1 111QPPQA111Q 3 2 1 P 111 3 2 1 333 222 111 A 9999 99100 22224 2 于是 则 令 因为 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 题型四题型四解矩阵方程解矩阵方程 1 含有未知矩阵的等式称为矩阵方程 解矩阵方程的问 含有未知矩阵的等式称为矩阵方程 解矩阵方程的问 题 本质上是考查矩阵的运算 特别是乘法和逆运算 因题 本质上是考查矩阵的运算 特别是乘法和逆运算 因 为在解矩阵方程
10、的过程中 应尽量利用矩阵和运算性质先为在解矩阵方程的过程中 应尽量利用矩阵和运算性质先 化简 再计算 化简 再计算 2 矩阵方程的基本形式有 矩阵方程的基本形式有 AX B XA B AXB C 若若A为可逆矩阵时 其解分别为为可逆矩阵时 其解分别为X A 1B X BA 1以及以及 X A 1CB 1 这里要求 这里要求B可逆 可逆 3 当 当A不可逆时 矩阵方程一般应转化为解线性方程组不可逆时 矩阵方程一般应转化为解线性方程组 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例1 的伴随
11、矩阵 求矩阵是其中 满足 矩阵设矩阵 XAA 2XAXAX 11 1 111 1 11 A 1 解 若先计算出方程中的 及A 1 然后再解方程求X 则 计算过程会十分复杂 为了避免求及A 1 可用公式 在等式两边同时左乘矩阵A进行化简 A EAAAAA 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 解 2AXAAXAAA 1 得两边同乘 1 2A EAXEX2A EA 2AXEXAEAAA 从而有 即 上式化为利用公式 101 110 011 4 1 111 1 11 11 1 2 1 X
12、 111 1 11 11 1 22A EA4 11 1 111 1 11 A 1 故 由于 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 例1 的伴随矩阵 试求为为单位矩阵 其中满足设矩阵 BAAE 100 02 0 001 A8E 2BABAABA 8E 2ABBA 8AA 2ABAABAAAA AAEAAA 1 1 1 1 即 得 再分别右乘 等式两边分别左乘利用公式 200 04 0 002 400 02 0 004 8EA 2A8B 1 从而 解 本资料由RUC服务小兵整理 如果您
13、对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 题型五题型五 求矩阵的秩求矩阵的秩 例1 A 2 1 0 0 A 21 22212 12111 求秩 其中设niba bababa bababa bababa ii nnnn n n 解 因为A的任一二阶子式 1A 0 于是秩 ljkj liki baba baba 而A为非零矩阵 故秩 A 1 从而秩 A 1 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 的秩 试求矩阵设
14、三阶矩阵例A 11 11 11 A2 x x x 2A 0 2 1 12 2 11 12 1 112 A0A23 1A 111 111 111 A0A12 3A0A211 1 2 11 11 11 1 2 显然秩 这时有二阶子式 且时 当 显然秩 且时 当 秩 时 且 当 故 方法解 x x xx xx x x x 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 2A23 1A12 3A0A211 1 2 00 1 10 11 1 1 0 1 10 11 11 11 11 11 11 11
15、2 2 时 秩 当 时 秩 当 秩 时 且 当 矩阵的秩 知于是由初等变换不改变 方法解 x x xx xx xx x xx xx x x x x x x x A 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福
16、代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过 本资料由RUC服务小兵整理 如果您对资料和答案有任何疑问或是可继续补充共享的 请联系微信公众号 rucfuwuxiaobing 小福代广大福粉先行谢过
