《固体物理学房晓勇主编教材-习题参考解答07第七章能带结构分析资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理学房晓勇主编教材-习题参考解答07第七章能带结构分析资料（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 能带结构分析 1 第七章 能带结构分析 7 1 试证明 场致隧穿可以忽略的条件是 2 g F Ek eEa E 1 0 0 N n V xVxnabxnab 式中V0是大于零的常数 1 若每个原子只有一个价电子 试说明晶体是否为导体 2 当时 情况将发生什么变化 4ba 解 参考 美国物理试题与解答 2039 P111 林鸿生 1 1 84 1 第一布里渊区k aa R 0ss sii r U rV rrd RR R 其中表示晶体中的周期性势场 也即各格点原子势场之和 U V r 为某格点的原子势场 由于 s 态波函数是球形对称的 因而在各个方向重叠积分相同 在一维单原子链中 每个原子
2、周围有 2 个近邻格点 其格矢分别为和 由此可知一维单原 子链的 s 态电子能量可化为 i ai a 00 2 cos ikaika ss E kee ka 第七章 能带结构分析 9 2 0 24 sin 2 s ka 上式中 0 ii aax U xV xnaxna dx ii 由此可知 当时 即能带底的能量为0 k min0 2 s E 当 a k 即能带顶的能量为 max0 2 s E 于是可证得一维单原子链的 s 态电子能量为 2 min 4 sin 2 E kEka 并且还可得能带宽度为 maxmin 4EEE 由此还可求得有效质量 22 2 22 2cos d E m k dkak
3、a 于是可求得能带顶部的电子有效质量 2 2 2 mm aa 能带底部的电子有效质量 2 2 0 2 mm a 7 12 若二维正方格子的晶格常数为 a 用紧束缚近似求 s 态电子的能谱 E k 只计算最近邻相互作用 的表达式 带宽 以及带顶和带底的有效质量 解 参考林鸿生 1 1 93 根据 固体物理学 式 6 70 0 sik s s n n E ke R R 在二维正方格子中 每个原子周围有 4 个近邻格点 其格矢分别为 i ai a a j和 由此可 知二维正方格子的 s 态电子能量可化为 a j 00 2coscos yy xx ik aik a ik aik a ssxy E ke
4、eeek a k a 假设式中 4 个最近邻交换积分相等 而且0 由此可知 当时 即能带底的能量为0 0 xy kk min0 4 s E 当 xy kk aa 即能带顶的能量为 max0 4 s E 得能带宽度为 maxmin 8EEE 根据 固体物理学 式 7 11 第七章 能带结构分析 10 22 2 22 2 222 222 22 11 cos0 112 0cos11 nn x xxxy n nn yxyy EkEk ak a kkkk Ek mk y EkEkak kkkk a 带底有效质量 代入0 0 xy kk 2 2 22 2 cos0 12 1 2 0cos10 01 x y
5、 ak a m a ak a 带顶有效质量 代入 xy kk aa 2 2 22 2 cos0 12 1 2 0cos10 01 x y ak a m a ak a 7 13 采用紧束缚近似计算一维晶格 中电子的速度 并证明在布里渊区边界电子的速度为零 解 参考陈金富 13 11 依题 7 11 一维晶格中 用紧束缚近似及其最近邻近似 s 态电子的能谱 E k 的表达式 2 00 2 cos24 sin 2 ss E kkaka 根据 固体物理学 式 7 1 12 sin dE ka v kka dk 在布里渊区边界 k a 显然 2 sin0 a va aa 7 14 Bi 的导带底的有效质
6、量张量可以写成 11 2223 3233 00 0 0 m m 且 2332 1 试求有效质量张量的各元素 2 试导出带底附近的色散关系 E k 对应的等能面的形状如何 F E 第七章 能带结构分析 11 3 计算张量 m m 的分量 ij m m 解 参考陈金富 13 12 1 根据 固体物理学 式 7 11 可知 2 11 22 x mE k 2 22 22 y mE k 2 33 22 z mE k 2 2332 2 yz mE k k 2 设导带底的波矢为Fk 在导带底附近电子的能量可写成 FFF E kE kkkE kk 因为很小 我们可在导带底附近将 k E k 展开 2 2222
7、22 2 22 222 2222 2 22 33231122 1 2 1 222 2 1 2 2 FFF Fxyzxyyz xyzxyyzzx Fxyzyz x E kE kkE kkE k EEEEEE Ekkkkkkkk kkkkkkkkk Ekkkkk mmmm zx k 可以看出等能面的形状一般是椭圆 3 由于 mm I mm I为单位矩阵 故 1 mm mm 1122332332 ji ij A m m 其中 ji A是行列式 m m 中 ji m m 的代数余子式 7 15 若晶体电子的等能面是椭球面 2222 312 123 2 kkk E k mmm 求能态密度 解 参考王矜奉
8、 5 2 8 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为 第七章 能带结构分析 12 222 312 123 222 1 222 kkk E k mE k mE k m 将上式与椭球公式 222 222 1 xyz abc 比较可知 在波矢空间内电子的等能面是一椭球面 椭球的体积为 3 2 122 3 442 2 33 abcm m m E 得 1 2 122 3 4 2dm m m EdE 如V是晶体体积 能量在内电子的状态数目为 C EEdE 1 2 122 323 22 2 cc VV dzdm m m EdE 电子的能态密度为 1 2 122 23 2 c Vdz g Em m m
9、 E dE 7 16 对原子间距为 a 的由同种原子构成的二维密堆积结构 1 画出前三个布里渊区 2 求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢 3 给出第一布里渊区内接圆的半径 4 求出内接圆是费米圆时每个原子的平均自由电子数 5 平均每个原子有 2 个自由电子时 在简约布里渊区中画出费米圆的图形 解 参考阎守胜 3 7 1 容易看出二维六角格子的倒格子也是二维六角格子 基矢为 4 3 b a 2 一个六边形包含三个原子 所以一个原子所占面积为 2 1133 6 3222 Vaa a 一个原子只有一个电子 电子密度为 1 2 2 132 23 na Va 倒易空间一个格点所占体积为 第七章 能带
10、结构分析 13 2 2 113 6 322 344 23 kb Va b 对于二维费米面有 22 2 1 22 4 FF V kk k 1 所以费米波矢为 12 12 2 4 2 3 F kn a 3 内接圆半径由图中很明显看出为倒格子基矢的一半 12 23 kb a 4 当内接圆为费米圆时 12 23 F kb a 2 2 2 2 23 2 22 F am k n a 3 5 平均每原子有两个自由电子时 电子密度为 1 2 2 234 2 23 na Va 12 2 8 2 3 F kn a 扩展布里渊区图扩展布里渊区图 实黑线为费米面实黑线为费米面 第一能带第二能带 第二能带阴影面积正好
11、等于第一能带空白处面积 第七章 能带结构分析 14 7 17 若已知 2 xyyzzx E kAkk kk kk k 导出 k 0 点上的有效质量张量 并找出主轴方向 7 18 应用式 7 31 求出电子在磁场中做回旋运动周期的自由电子气体结果 7 19 设电子的等能面是椭球面 即 2222 312 123 2 kkk E k mmm 外加磁场相对于椭球主轴的方向余弦为 和 1 写出电子的运动方程 2 证明电子绕磁场回旋的频率是 c eB m 其中 22 123 123 c mmm m m m m 2 解 参考王矜奉 5 2 8 林鸿生 1 1 100 1 根据 固体物理学 式 7 10 可将
12、矢量式写成分量式 222 2 1 xxy EEE aFF x xx yx z z F 式 20 1a 222 2 1 yxy EEE aFF y xy yy z z F式 20 1b 222 2 1 zxy EEE aFF z xz yz z z F式 20 1c 将 2222 312 123 2 kkk E k mmm 代入上式 1 x x F a m 2 y y F a m 3 z z F a m 20 2 当存在磁场B 时 电子受到洛伦兹力 Fev B 其分量式 xyzzyyzyzzy Fe v Bv Be v Bv Bvv 20 3a yzxxzzxzx Fe v Bv Be v Bv
13、 Bv xz v 20 3b zxyyzxyxy Fe v Bv Be v Bv Bvv yx 20 3c 第七章 能带结构分析 15 在 20 3 中 xyz eBeBeB 20 6 将 20 3 代入 20 2 得到 11 x xyzzy dv m amvv dt 20 4a 22 y yzx dv m amvv dt xz 20 4b 33 z zxy dv m amvv dt yx 20 4c 2 在解方程 20 4 时 考虑电子作周期运动 设方程的试探解为 0 c it xx vv e 0 c it yy vv e 0 c it zz vv e 20 5 式 20 5 中 00 0
14、xyz vvv一般为复数 电子的真实速度应为 xyz v vv的实部或虚部 将式 20 5 代入式 20 4 得 1000 0 cxzyyz im vvv 0200 0 zxcyxz vim vv 0 0030 0 yxxycz vvim v 00 xyz vvv有不全为零的解得充要条件是 1000 0200 0030 0 cxzyyz zxcyxz yxxycz im vvv vim vv vvim v 由此得 3222 123123 0 cxyzc m m mmmm 于是得 222 1232 123 xyz c mmm B m m m 20 7 再将 20 6 代入 20 7 得电子的回旋
15、频率 1 2 1 2 222 222 123 123 1 2 222 123123 123 123 xyz c c mmm mmmeBeB eB m m mm m mm mmm m m m 式中 1 2 222 123 123 c mmm m m m m 第七章 能带结构分析 16 7 20 设一非简并半导体有抛物线型的导带极小 有效质量 当导带电子具有 T 300K 的平 均速度时 计算其能量 动能 波矢和德布罗意波长 0 1m m 7 21 试根据自由电子模型计算钾的德哈斯 范阿尔芬效应周期 对 B 1T 在实空间中极值轨道的面积 有多大 7 22 平面正六方行晶格如题 6 10 图所示
16、其中六角形两个对边的间距是 a 如果每个原胞有 2 个电子 试画出此晶体的费米面 解 参考徐至中 6 2 题 二维晶格的原胞面积 2 12 33 3 2 2222 C aa Aaaia jia ja x y 1 a 2 a 每个晶格原胞有 2 个电子时 电子数密度 2 48 3 3 c n Aa 费米圆的半径 2 8 345 4 2233 33 F kn aaa 倒格矢 3 1 2 2 321 32 1 ji aaa aa b a 3 1 2 2 321 13 2 ji aaa aa b a 第一布里渊的内接圆半径 2 2 11 11 21233 1 2233 rb aa 1 21 3 b a ij 1 7 2 b a 1 5 6 r a 6 a c 7 23 在磁场 B 10T 的条件下研究铜的哈德斯 范阿尔芬效应 为了获得好的实验结果 必须满足条件 B k T 试由此确定合适的实验温度 解 方俊鑫 40 题 三合一手写 方 40P97 由已知 Bc k T 其中 c eB m 称为回旋频率 所以 3419 2331 1 05 101 6 1010 13 4 1 38 109 1 1
