《新小升初数学专项训练+新典型例题分析-工程篇(教师版) 12页》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新小升初数学专项训练+新典型例题分析-工程篇(教师版) 12页(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、雨轩教育考试小升初专项训练 工程篇一、小升初考试热点及命题方向罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题:某项工程,若甲、乙单独去做,甲比乙多用4天完成;若甲先做2天后,再和乙一起做,则共用7天可完成,问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成?答案:设甲、乙两人每人完成该项工程的一半,以题意,甲、乙两人单独完成,甲比乙多用4天,所以每人单独完成一半时,甲比乙多用2天。另外,已知甲先做2天,然后与乙合作,7天完成,这就是说,甲、乙共同完成全部工作时(每人做一半),相差刚好2天,那么很明显,甲在7天中正好完成了工程的一半,而乙在5天中也完成了工程的一半。这样,甲单独完成要14天
2、,乙单独完成要10天。工程问题在历届考试中之所以难,是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。二、2019年考点预测19年的这一题型必然将继续出现,题型的出题热点在利用通项表达式(即字母表示)总结出已知条件中等式的内在规律和联系,这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力,希望同学们多加练习。三、知识要点在工程问题中,一般要出现三个量:工作总量、工作时间(完成工作总量所需的时间)和工作效率(单位时间内完成的工作量)。深刻理解公式的用法! 【基本公式】:这三个量之间有下述一些关系式: 工作效率工作时间工作总量;工作总量工作时间工作效率;工
3、作总量工作效率工作时间。为叙述方便,把这三个量简称工量、工时和工效。【规律总结】:不要求记忆,但要求能够理解和运用。(1)工效提高了a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的100/(100+a)。时间缩短了a/(100+a)。(2)工效降低了a%,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的100/(100-a)。时间延长了a/(100-a)。(3)工效提高了a/b, 工作总量不变的前提下,工时则变为原来的a/(a+b)。时间缩短了b/(a+b)。(4)工效降低了a/b,工作总量不变的前提下,工时则变为原来的b /(b-a)。时间延长了a/(b-a)。(5)当出现甲工作了一段时间a,乙工作了一段
4、时间b,则通常是把条件处理为甲乙和干了a(或b时间)后甲单干(a-b)(或乙单干(b-a)段时间)四、典型例题解析1 涉及二者的工程问题【例1】()一项工程,甲单独做6天完成,乙单独做12天完成。现两人合作,途中乙因病休息了几天,这样用了4.5天才完成任务。乙因病休息了几天?【解】:方法一:4.5天甲完成了4.56=3/4,乙完成了1/4,需要(1/4)(1/12)=3天,所以乙休息了4.5-3=1.5天。方法二:假设乙没休息,这样两人4.5天总共完成4.5()=,而总工作量只有1,所以多出来的就是乙休息时间里做的,所以乙休息了=1.5天。【答】:乙休息了1.5天。【例2】()有240个零件,
5、平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务,因此在甲车间开始加工了4小时之后才开始加工这批零件,而且比甲车间晚40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的3倍,那么甲车间每小时能加工多少个零件?【解】:40分钟小时,乙车间一共比甲车间少用了小时,乙车间的效率是甲车间的3倍,乙比甲少工作43小时,但都完成了120个零件。如果乙和甲的时间是一样的话,那么乙就会多完成240个零件,也就是说乙在3小时内可做240个零件,所以乙每小时完成的零件个数为240372个,甲每小时完成72324个零件。【答】:甲每小时能加工24个零件。2 涉及三者的工程问题 【例3】()一项工程,甲队单独做24天完成,乙队
6、单独做30天完成。现在甲、乙两队先合做8天,剩下的由丙队单独做了6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做,需要几天?【解】:方法一:设工作总量为24,30120单位,则甲队每天完成24024=5单位,乙队每天完成24030=4单位。前8天,甲、乙两队共完成(54)872单位,则丙6天完成1207248单位,丙每天完成4868单位。那么,如果从开始就让丙队单独做,需要120815天。方法二:甲工作效率为1/24,乙的工作效率为1/30,这样甲乙合作8天完成的工作量为(1/24+1/30)8=9/15,所以剩下的1-9/15=6/15由丙做6天,所以丙的工作效率为6/156=1/15,所以丙要
7、做15天。【答】:如果从开始让丙队独做,需要15天。【例4】()某工程由甲、乙两个工程队合作需要12天完成。甲工程队工作3天后离开,同时乙、丙两个工程队加入,又工作了3天后,乙工程队离开,此时刚好完成工程的一半,那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成,还需要几天?【解】:可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了3天,干完了工程的一半。因为甲乙合作需要12天完成,所以甲乙两队合作3天共完成了全部工程的。可以算出丙队3天完成的工作量是。则剩下的一半工程,丙队需要独做6天才能完成。【答】:还需要6天。【例5】()马师傅和张师傅合伙加工一批零件,原计划马师傅每天比张师傅多加工8个零件,共用了15天完成。张师
8、傅为了赶上马师傅的效率,叫了一个徒弟从一开始就来帮忙,结果师徒俩每天反比马师傅还多加工4个零件,这样用了12天就完成了,那么马师傅每天加工多少个零件?【解】:由题意知徒弟每天加工零件8412个。设工作总量为12,1560份,这样原来张、马二人的工效之和为6015=4份,现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为6012=5份,相差1份,表明1份为12个零件。原来两位师傅每天一共加工零件12448个,马师傅又比张师傅每天多8个,则他每天加工(488)228个。【答】:马师傅每天加工28个零件。【例6】()有甲、乙、丙三组工人,甲组4人的工作,乙组需要5人来完成;乙组的3人工作,丙组需要8人来完成。一
9、项工作,需要甲组13人来完成,乙组15人3天来完成。如果让丙组10人去做,需要多少天来完成?【解】:设甲组每人每天的工作量为1,则乙组每人每天的工作量为4/5,丙组每人每天的工作量为:4/53/8=3/10。这项工作的总工作量为:(113+4/515)3=75丙组10人需要干:753/1010=25(天)。3 涉及多者的工程问题【例7】()一项工程,45人可以若干天完成。现在45人工作6天后,调走9人干其他工作。这样,完成这项工程就比原来计划多用了4天。原计划完成这项工程用多少天?【解】:前6天的工作可看作是按原计划进行,设原计划还需要天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的人进行相差4天,表
10、明36人最后4天的量相当于调走的那9个人天的工作量。则为364916天。原计划用16420天。【答】:原计划用20天完成。【例8】()A、B、C、D、E五个人干一项工作,若A、B、C、D四人一起干需要6天完成;若四人干,需要8天完工;若A、E两人一起干,需要12天完 工。那么,若E一人单独干需要几天完工?【解】:可设工作总量为6,8,1224单位,则A、B、C、D四人每天完成4单位,B、C、D、E四人完成3单位,表明A每天比E多做1单位;由题意又可知A、E两人一天完成2单位,则A每天完成(21)21.5单位,E每天完成(21)20.5单位。那么,如果由E一人单独做需要240.548天。【答】:
11、如果由E一人单独做需要48天。【例9】()某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成;如果由第一、三、五小队合干需要7天完成;如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成;如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程?【思路】:我们注意到,在题目中二、四、五每支队都恰出现两次,一、三两支小队恰出现三次,因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和因此,再加上一个二、四、五3支小队效率和,得到的结果就应该是5个小队效率的3倍【解】:通过条件,我们有以下公式: (一二三四五)3=(一二三)+(一三五)+(二四
12、五)2+(一三四) 所以,5支小队效率和为: 4 水箱注水的工程问题【例10】()水池安装A、B、C、D、E五根水管,有的专门放水,有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作,注满一池水所用时间如下表所示: A,BC,DE,AD,EB,C2610315如果选用一根水管注水,要尽快把空池注满,问应选用哪根水管?答:D。提示:由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得BE,比较第一列与第五列得AC,比较第二列与第五列得DB,比较第二列与第四列得EC,比较第三列与第四列得DA。【例11】()有甲、乙两根水管,分别同时给两个大小相同的水池A和B注水,在相同时间内甲、乙两管注水量之比7:5。
13、经过时,A、B 两池中已注入水之和恰好是一池水。此后,甲管的注水速度提高25,乙管的注水速度降低 30。当甲管注满A池时,乙管还需多长时间注满B池?【解】:因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7:5不变,所以经过恰好是一池水时,甲乙水管分别注入一池水的、。如果注水速度不变,那么注满一池水甲、乙管分别还需注水速度变化后,注满一池水甲、乙水管分别还需所以,当甲水管注满A池时,乙水管注满B池还需5 较复杂的工程问题【例12】()一项工程,乙单独做需要17天完成;如果第一天由甲作,第二天乙做,这样交替轮流做,那么恰好整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,这校交替轮流做,那么比上次轮流的做法要多半天才能
14、完成。甲单独做这项工作要多少天完成?来源:人大附测试题【解】:如果两人轮流做完的天数是偶数,那么不论甲先还是乙先,两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天,说明甲先时,完成的天数一定是奇数。于是可表示为:竖线左边的工作量相同,右边的工作量也相同,说明乙做一天等于甲做半天,乙做17天相当于甲做8.5天。【例13】()有甲乙两个工程,现分别由A、B两个施工队完成。在晴天A队完成工程需要8天,B队完成工程需要12天,在雨天,A施工队的工作效率下降60,B施工队的工作效率下降20。最后两个施工队同时完成这两项工程,问施工的日子里雨天有多少天?【解】:10天。晴天时,A施工队比B的工作效率高:1/81/12=1/24雨天时,B施工队比A的工作效率高:1/12(120)1/8(160)=1/60要想两队同时完成,则由1/24:1/60=5/2可知,必须是每2个晴天有5个雨天,而此时完成工程的:1/82+1/80.45=1/2,故整个工程共有4个晴天,10个雨天。【教师选讲】:有一个蓄水池装有9根水管,其中一根为进水管,其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管,使池内的水全部排光(这时池内已经注入了一些水)。如果把8根进水管全部打开,需要3小时把池内的水全部排出;如果仅打开5根出水管,需要6小时