《介值定理和应用本科》由会员分享，可在线阅读，更多相关《介值定理和应用本科（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本科毕业论文本科毕业论文 介值定理及其应用 摘 要 介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一 在 数学分析 教材中 一般应用 有关实数完备性定理中的确界原理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理来证 明 本课题通过构造辅助函数 应用区间套定理 致密性定理 柯西收敛准则 确界原 理对介值定理进行证明 介值定理应用非常广泛 应用介值定理能很巧妙的解决一些问 题 如利用介值定理可证明根的存在性 证明不等式 证明一些等式以及解决实际问题 等 此外本文还对介值定理进行了推广 并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值 定理的应用 关键词 关键词 介值定理 连续函数 根的存在定理 应用 Intermedi
2、ateIntermediate valuevalue theoremtheorem andand itsits applicationapplication Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun ABSTRACTABSTRACT Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties In mathematical analysis textbook general application about rea
3、l number completeness theorem of supremum principle the monotone bounded theorem nested interval theorem finite covering theorem to prove This topic through the construction of auxiliary function application of nested interval theorem compact theorem Cauchy convergence criterion principle of supremu
4、m and infimum proves that intermediate value theorem Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root the proof of inequality that some equation and solving p
5、ractical problems In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem KEYKEY WORDSWORDS Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application 目目 录录 摘 要 I 外文页
6、 II 前 言 1 1 介值定理及其证明方法 2 1 1 介值定理的内容 2 1 2 介值定理的四种证明方法 2 1 2 1 应用确界原理 2 1 2 2 应用区间套定理 3 1 2 3 应用致密性定理证明 4 1 2 4 应用柯西收敛准则证明 5 2 介值定理的应用 7 2 1 利用介值定理判断方程根的存在性 7 2 2 介值定理在解不等式中的应用 8 2 3 介值定理在证明等式中的应用 10 2 4 介值定理在实际问题中的应用 12 3 介值定理的推广 14 3 1 一元函数介值定理的推广 14 3 1 1 推广介值定理的内容 14 3 1 2 推广的介值定理的一个应用 15 3 2 二元
7、函数的介值定理 18 3 2 1 二元函数介值性定理的内容 18 3 2 2 二元函数介值定理的应用 19 参考文献 21 致 谢 22 前前 言言 介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质 这一定理虽然简单 但应用却异常 广泛 微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理 介值定理 Intermediate value theorem 首先由伯纳德 波尔查诺提出和证明 对波尔查诺来说有点不幸的是 他的数 学著作多半被他的同时代的人所忽视 他的许多成果等到后来才被重新发现 但此时 功劳已被别人抢占或只能与别人分享了 华东师范大学版的 数学分析 对介值定理的描述是 设函数在闭区间上连f ba 续 且
8、 设为介于与之间的任何实数 或 bfaf af bf bfaf 则至少存在一点 使得 介值定理是闭区间上连续 bfaf 0 x ba 0 xf 函数的重要性质之一 在 数学分析 教材中一般应用有关实数完备性的 6 个基本定理 中的确界原理 单调有界定理 区间套定理 有限覆盖定理来证明 在这里我们通过巧 妙地构造辅助函数 应用区间套定理 致密性定理 柯西收敛准则以及确界原理来证 明 介值定理在连续函数中具有广泛的应用性 比如判断方程根的存在性 求解不等式 证明一些等式 解决实际问题等 当然还有其它许多关于介值定理的研究 他们多数都是针对介值定理的某一方面而 进行的 例如叶国柄发表在陕西工学院学报
9、的一篇文章 介值定理的推广及其应用 一 方面他把闭区间推广为任意区间 另一方面从常数和入手 和也可以 af bf af bf 为或 利用推广的介值定理 得到了求一类方程绝对误差为的近似 1 0Nm m 解的一种好方法 此外二元函数介值定理的介绍 拓宽了研究范围 加深了学习难度 使我们能够更 加努力地学习 1 介值定理及其证明方法 1 1 介值定理的内容 定理 1 设函数在闭区间上连续 且 设为介于与之f ba bfaf af bf 间的任何实数 或 则至少存在一点 使得 bfaf bfaf 0 bax 0 xf 这个定理表明 若在上连续 又不妨设 则在上必能取得f ba bfaf f ba 区
10、间上的一切值 即有 bfaf bafbfaf 推论 根的存在定理 若函数在闭区间上连续 且与异号 即f ba af bf 则至少存在一点 使得0 bfaf 0 bax 0 0 xf 即方程在内至少有一个根 根的存在定理也就是零点定理 在下面一0 xf ba 些问题的证明中 我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题 并且借 用根的存在定理证明介值定理 1 2 介值定理的四种证明方法 1 2 1 应用确界原理 1 不妨设 令 则也是上的连续函数 且 bfuaf uxfxg g ba 于是定理的结论转化为 存在使得 这个简单的0 0 bgag 0 bax 0 0 xg 情形即为根的存在性
11、定理 记显然为非空有界集故由确界原理 0 baxxgxE E EbbaE 且 有下确界 记 因由连续函数的局部保号性 存在使得在EExinf 0 0 内 aa 在由此易见即 0 xg 0 g xbb内 0 ax 0 bx 0 bax 下证 倘若不妨设则又由局部保号性 存在0 0 xg 0 0 xg 0 0 xg 0 xU 使在其内特别有 但这与相矛盾 ba 0 xgExxg 2 0 2 00 Exinf 0 故必有 0 0 xg 1 2 2 应用区间套定理 1 我们可以把问题转换为证明根的存在定理 即若函数在上连续 g ba0 ag 则存在使得 0 bg 0 bax 0 0 xg 将等分为两个
12、子区间与 若 则 即为所求 若 则 ba ca bc0 cgc0 cg 当时记 当时记 于是有 0 cg 11 ba ca 0 cg 11 ba bc 0 0 11 bgag 且 11 ba ba 11 ab 2 1 ab 再从区间出发 重复上述过程 得到 或者在的中点上有 11 ba 11 ba 1 c0 1 cg 或者有闭区间 满足 且 22 ba0 0 22 bgag 22 ba 11 ba 2 22 2 1 ab ab 将上述过程不断地进行下去 可能出现两种情形 在某一区间的中点上有 即即为所求 1 i c0 i cg i c 在任一区间的中点上均有 则得到闭区间列 满足 2 i c0
13、 i cg nn ba 且0 0 nn bgag 11nnnn baba 2 1 2 1 nabab n nn 由区间套定理 存在点下证倘若不妨设 2 1 0 nbax nn 0 0 xg 0 0 xg 则由局部保号性 存在使在其内有而由区间套定理的推论 0 0 xg 0 xU 0 xg 当充分大时有因而有 但这与选取时应满足的n 0 xUba nn 0 n ag nn ba 相矛盾 故必有 0 n ag0 0 xg 1 2 3 应用致密性定理证明 先证明下面两个引理 引理1 2 设是有界数列 而且 则的聚点的集合是 n x0 lim 1 nn n xx n x ba 其中 lim lim n
14、 n n n xbxa 证明 根据定义 与都是的聚点 故我们只要证明与之间的任意实数ab n xab 都是的聚点即可 bxax n x 先证对于任给的及任给的正整数 必有存在 使得 0 0 n 0 nn n xx 事实上 由假定可知必有正整数存在 使当时 恒有 0 n 0 nn nn xx 1 令则数列 中必至少有两项和存在 使 max 000 nnn 1 0 nnn x n x n x 因为否则的话 例如 无小于的项 则必 此与矛盾 n xx xxn xlim n n xx xa 不妨设 令满足 且使 的正整数中之最大者为 显然nn nnn xxn n n 且 1 nn 1 nn xx xx
15、 因此 且 0 nn 1nnn xxxx 先取 则存在 使 1 1 11 N 1 1 1 nxn1 1 xxn 则存在 使 2 1 2 12 nN 12 2 nnxn 2 1 2 xxn 又取 则存在 使 233 3 1 nN 23 3 nnxn 3 1 3 xxn 如此继续下去 得到的一个子列 满足 故 n x k n x k xx k n 1 3 2 1 k 即是的一个聚点 kxx k n x n x 引理2 3 设在闭区间连续 数列且 证明存在点f ba baxn Axf n n lim 使得 ba Af 证明 因为 所以有界 由致密性定理 有界数列必有收敛子列 baxn n x 可知中
16、必有收敛子列 设 由于故 又 n x k n x k n k xlim b xa nk ba 故 由于在闭区间连续 因而 limAxf n n limAxf k n k f ba lim lim fxfxfA kk n k n k 下面对根的存在性定理进行证明 证明 取的中点 记为 再取及的中点 分别记为 ba 1 x 1 xa 1 bx 且 32 x x 2 1 3221 abxxxx 又取的中点 顺次记为且 212313 xaxxxxbx 7654 xxxx 43 xx ii xx 1 6 5 4 2 1 2 iab 然后取的中点 顺次 44335511662277 bxxxxxxxxxxxxxxa 记为且 15141312111098 xxxxxxxx 14 10 9 8 2 1 3 187 iabxxxx ii 如此继续下去可得到数列 满足 对任意的正整数 存在正整 n xn 数 使 从而有k 1 212 kk n 2 1 1 abxx k nn 由于在闭区间连续 所以在闭区间上一致连续且有界 因而 对 xg ba xg ba 任给的 存在 及正整数 当时 有0 0 NNkn
