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1、1 第三章线性方程组的迭代解法 计算方法 基本的矩阵分裂迭代法 2 本讲内容 Jacobi迭代算法Gauss Seidel迭代算法SOR迭代算法收敛性分析 矩阵分裂迭代法的典型代表 3 Jacobi迭代 考虑线性方程组 Ax b 其中A aij n n非奇异 且对角线元素全不为0 将A分裂成A D L U 其中 4 Jacobi迭代 k 0 1 2 令M D N L U 可得雅可比 Jacobi 迭代方法 Jacobi迭代 迭代矩阵记为 5 6 Gauss Seidel迭代 在计算时 如果用代替 则可能会得到更好的收敛效果 7 Gauss Seidel迭代 写成矩阵形式 此迭代方法称为高斯 塞
2、德尔 Gauss Seidel 迭代法 k 0 1 2 可得 迭代矩阵记为 8 SOR迭代 为了得到更好的收敛效果 可在修正项前乘以一个松弛因子 于是可得迭代格式 在G S迭代中 9 SOR迭代 写成矩阵形式 可得 SOR SuccessiveOver Relaxation 迭代方法 迭代矩阵记为 SOR的优点 通过选取合适的 可获得更快的收敛速度SOR的缺点 最优参数 的选取比较困难 10 Jacobi G S SOR Jacobi迭代 SOR迭代 G S迭代 11 举例 例 分别用Jacobi G S SOR迭代解线性方程组 取初始向量x 0 0 0 0 迭代过程中小数点后保留4位 12
3、举例 G S迭代 x 1 0 5000 2 8333 1 0833 T x 9 2 0000 3 0000 1 0000 T 迭代可得 13 举例 SOR迭代 取 1 1 迭代可得 x 1 0 5500 3 1350 1 0257 T x 7 2 0000 3 0000 1 0000 T 如何确定SOR迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事 14 15 收敛性分析 定理 对任意初始向量x 0 上述迭代格式收敛的充要条件是 16 Jacobi迭代收敛的充要条件 J 1G S迭代收敛的充要条件 G 1SOR迭代收敛的充要条件 L 1 收敛性 收敛性定理 Jacobi迭代收敛的充分条件 J 1G S迭
4、代收敛的充分条件 G 1SOR迭代收敛的充分条件 L 1 谱半径 17 18 收敛性分析 B M 1N 定理 若存在算子范数 使得 B q 1 则 证明 P112 迭代法收敛 19 系数矩阵法 对角占优矩阵 且至少有一个不等式严格成立 则称A为弱对角占优 若所有不等式都严格成立 则称A为严格对角占优 i 1 2 n 定义 设A Rn n 若 20 Jacobi G S收敛性 引理3 2 若A严格对角占优 则A非奇异 21 SOR收敛性 定理 若SOR迭代收敛 则0 2 SOR收敛的必要条件 22 举例 例 设 给出Jacobi和G S收敛的充要条件 23 举例 解法二 Jacobi的迭代矩阵为 设 是J的特征值 则由det I J 0可得 a 2 2a 0 Jacobi收敛的充要条件是 J 1 1 即 0 5 a 0 5 24 作业 1 教材页 习题2 教材页 习题
