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1、第四章 相似矩阵 课程教案授课题目：第一节 特征值与特征向量教学目的：掌握方阵的特征值和特征向量的概念和求法.教学重点：掌握方阵的特征值和特征向量的求法.教学难点：方阵特征向量的求法.课时安排：3学时.授课方式：多媒体与板书结合.教学基本内容：4.1 特征值与特征向量1 定义1 设是阶方阵，如果存在数和维非零列向量，使得 (1)成立，则称是方阵的特征值，是的属于特征值的特征向量.注 1. 只对方阵有这样的定义, 而且特征向量必须是非零向量.2. (1)成立有非零解.称为特征多项式.称为特征方程.2 矩阵特征值、特征向量的计算步骤：1解特征方程；求出特征根，即的特征值由于特征方程是关于的次代数方
2、程，所以在计算行列式值写出特征多项式（的次多项式）时，应尽可能写成低次因式乘积的形式以便解特征方程.2对每个特征值，解齐次线性代数方程组.求出其基础解系，即为矩阵属于特征值的特征向量.矩阵属于的线性无关特征向量的个数有个， 即为解空间的维数，常称为矩阵属于特征值的特征子空间（其中任一非零向量皆为属于的特征向量.注 以上由定义导出的一般计算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征值的情况下都会得到简化.例1求下列矩阵的特征值和特征向量：(1)； (2)； (3).并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1)，故的特征值为.当时, 解方程，由 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时，解方
3、程，由 得基础解系所以是对应于的全部特征向量，故不正交(2)，故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量，所以两两正交(3) =, .当时，取为自由未知量，并令，设. 故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为.例2 已知向量是矩阵的一个特征向量, 试求对应于的特征值，并确定中之之值.解 由定义知，成立，即=，即=，于是得.3 矩阵特征值、特征向量的常用性质性质1 若是阶矩阵特征值，则必有（的迹）.性质1的第一式常可用于对特征值计算作一简单的校核.
4、第二式构通了矩阵行列式与特征值的关系，得到了计算行列式（全体特征值之积）及证明矩阵可逆（矩阵可逆的充要条件是无一特征值为0）的又一途径. 这些性质必须熟记.性质2 若是阶矩阵的两两不等的特征值，其对应的特征向量分别是则线性无关.性质3 若是矩阵的特征值，是属于的特征向量，则， 是，的特征值, 也是相应的特征向量.例3 若是矩阵的特征值，x是属于的特征向量，试求证是的特征值, 也是属于的特征向量.证明 因为，所以.例4 已知是矩阵的两个特征值，分别是属于的特征向量，试求证决非的特征向量.证明 分析一下要证的结论是“不是的特征向量”，由于特征向量这一性质以确定等式表出，故对这样的命题，自然想到要用
5、反证法.另外，依给定的条件，用性质可知是线性无关的。下面写出证明过程：设是的特征向量，则有使, 又由，与前一式相减，得，由线性无关，知，即矛盾. 证毕.这个性质也需熟记，并能灵活运用.常称之为特征值的平移性，即将矩阵的每个对角线元皆移过时，其特征值亦必移过.例5 对阶矩阵，试证与必有相同的特征值.证 对阶矩阵作分块初等变换，有，故. 因与有相同的特征方程，故特征值全同.证毕.例6 已知秩为1的阶矩阵，试求的个特征值.解 设，则有.（矩阵秩为1的充要条件是可写成非零列向量与非零行向量之积）则.又因为, 故知的个特征值应为数及个0.参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月.2吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月.3同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月.作业和思考题：Page133：15.课后小结：
