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1、10.3 变量的相关性与统计案例核心考点精准研析考点一相关关系的判断1.已知变量x和y近似满足关系式y=-0.1x+1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关2.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A.r2r40r3r1B.r4r20r1r3C.r4r20r3r1D.r2r40r1r2；x，y之间不能建立线性回归方程.【解析】1.选C.由y=-0.1x+1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，
2、随y的减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关.2.选A.由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2r40r3r2，故正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故错误.答案：1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.2.线性回归直线方程中：0时，正相关；0时，负相关.考点二独立性检验【典例】(2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其
3、频率分布直方图如图所示：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg， 新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率.(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).【解题导思】序号联想解题(1)以频率代替概率，相互独立时交事件概率等于两事件概率的积(2)填入数据，代入卡方公式计算观测值，与临界值比较(3)中位数把频率分布直方图分为面积相等的两部分【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱
4、产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.66=0.409 2.(2)箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为
5、(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.340.06852.35(kg).1.在22列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad-bc0.|ad-bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明两个变量之间关系越强.2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成22列联表.(2)根据公式2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2计算.(3)比较2与临界值的大小关系，作统计推断.(2020合肥模拟)某校在高一年级学生中，对自然科学
6、类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的22列联表.并判断能否有95%的把握认为科学类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计【解析】(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为105180=712.(2)根据统计数据，可得22列联表如表：选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105女生304575合计9090180则2=
7、180(6045-3045)2105759090=3675.142 93.841，所以有95%的把握认为科学类的选择与性别有关.考点三回归分析命题精解读考什么：(1)考查线性回归方程的求法及运用回归方程进行预测；(2)考查散点图、相关系数、相关指数等判断两个变量是否相关的方法；(3)考查数学运算、数据分析的【核心素养】及数形结合等【思想方法】.怎么考：与频率分布表、频率分布直方图、折线图等结合考查回归分析的方法.新趋势：以回归分析为载体，与频率分布、概率等交汇命题.学霸好方法1.回归分析方法(1)利用公式，求出回归系数；(2)利用回归方程进行预测；(3)与观测值对比，确定模型是否合适，及时修正
8、.2.交汇问题与频率分布直方图、折线图等交汇时，分析图形提供的数据信息，获得计算相关系数、相关指数、回归系数等需要的数据，最后计算比较.线性回归方程及其应用【典例】现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率等指标.(1)10 名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332
9、，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？(2)实验过程中测得时间t(分)与10名实验对象前臂表面肌电频率的中值频率y(Hz)的九组对应数据(t，y)为(0，87)，(20，84)，(40，86)，(60，79)，(80，78)，(100，78)，(120，76)，(140，77)，(160，75).建立y关于时间t的线性回归方程；(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：i=19(ti-t)(yi-y)=-1 800；参考公式：回归方程=x+中斜率和截距
10、的最小二乘估计公式分别为：=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2，=y-t.【解析】(1)根据题意得到茎叶图如图所示：由图中数据可得x1=110(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=363，x2=110(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333，所以x1-x2=363-333=30(N)，所以实验后比实验前握力的平均值下降30N.(2)由题意得t=19(0+20+40+60+80+100+120+140+160)=80，y=19(87+84+86+79+78+78+76+77+75)
11、=80，i=19(ti-t)2=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2+(100-80)2+(120-80)2+(140-80)2+(160-80)2=24 000，又i=19(ti-t)(yi-y)=-1 800，所以=i=19(ti-t)(yi-y)i=19(ti-t)2=-1 80024 000=-0.075，所以=y-t=80-(-0.075)80=86，所以y关于时间t的线性回归方程为=-0.075t+86.(3)九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.相关系数及其
12、应用【典例】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明.(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：i=17yi=9.32，i=17tiyi=40.17，i=17(yi-y)2=0.55，72.646.参考公式：相关系数r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2，=y-t.【解析】(1)
13、由折线图中的数据和附注中的参考数据得t=4，i=17(ti-t)2=28，i=17(yi-y)2=0.55，i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-ti=17yi=40.17-49.32=2.89，所以r2.890.5522.6460.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由y=9.3271.331及(1)得=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.10.=y-t1.331-0.1040.93.所以y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.93+0.109=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.非线性回归分析【典例】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1，2，8)数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.6563
