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1、要求 会用其性质与展开定理 计算低阶及特殊的行列式 一 行列式 两个重要概念 余子式 代数余子式 上 下 三角行列式的值 对角线上元素之积 性质 是计算行列式的中心环节 利用性质将行列式化为三角形行列式 然后计算是计算行列式的重要方法 展开定理及其应用 利用展开定理 高阶行列式计算可以转化为低 一阶行列式的计算 特殊关系式 例题 解 计算下列行列式 解方程 此为范德蒙行列式 例题 二 矩阵 不能推出 1 3 2 或 不能推出 交换律不成立 消去律不成立 转置矩阵的运算律 一 矩阵运算中注意的几点 特殊矩阵 若 若 阶梯阵A与行最简阶梯阵B 若 A为n阶对称矩阵 A为n阶反对称矩阵 n阶方阵A可
2、逆的充要条件 n阶方阵A可逆 可逆矩阵 可逆矩阵的性质 设A B都是n阶可逆矩阵 k是非零数 则 5 求方阵A的逆矩阵的方法 特别 矩阵的初等变换 初等方阵 列 变换得到的矩阵 矩阵A的标准型 1 R A A的不等于0的子式的最大阶数 2 秩的基本关系式 3 关于秩的重要结论 矩阵的秩 重要结论 定理 秩的求法 1 R A A的不等于0的子式的最大阶数 2 初等变换法 R A T的阶梯数 3 若P可逆 则 常需先验证P可逆 选择题 1 设A B都是n阶方阵 则 e 选择题 2 4 2 选择题 4 3 解 例 例 设方阵A满足2A2 5A 8E 0 证明A 2E可逆 关键 寻求方阵B 使 A 2
3、E B E 分析 原式可写为 重点 例 设矩阵X满足 AXB XB C 求X 其中 由已知 得AXB XB C 则得 显然A E B均可逆 并且 解 重点 例 R A 2 初等变换 例 重点 例 解 三向量组的线性关系 定义 定义极大无关组 等价 等价定义 重点 结论 2 3 1 矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系 注意 求极大无关组 讨论线性表示主要用此方法 秩 A 列向量组的秩 行向量组的秩 定理 定理 判别法1 判别法2 等价的向量组的秩相等 部分相关 整体必相关 整体无关 部分必无关 判别法3 例题 DF 例题 BC 设 解 例 重点 续 其余向量由此极大无关组表示为 所以 向量4
4、例题4 解1 因为行列式 所以当b 3或b 1时 D 0 线性相关 否则线性无关 证明 证明 证明 分析 只要证明 B的列秩 m 证明 例设向量组 问k为何值时 表示法唯一 不唯一 不可表示 解设 即 用克莱姆法则 k 3时 表示法唯一 时 同解方程组 有无穷多解 时 方程组有唯一解 表示法不唯一 线性方程组 解的存在性定理 各种解法 解的结构 四 线性方程组的解法与解的结构 定理1设有非齐次线性方程组 定理1设有齐次线性方程组 2 方程组 2 通解 基础解系 方程组 2 通解 基础解系 定理2设有非齐次线性方程组 1 讨论a满足什么条件时 如下方程组无解 有唯一解 解 系数行列式 所以1 2
5、 有无穷多解 有无穷多解时 求其通解 重点 例 例题3 续 由于同解方程组中出现了矛盾方程 0 3 故无解 2 则通解为 定理 中两两正交 非零向量组 线性无关 称 为规范正交基 定义3 五 内积 施密特正交化 定义4 是n阶方阵 若 性质2 的列 行 向量组为正交单位向量组 是正交矩阵 性质1 是正交矩阵则A可逆且 设 性质3 设A B都是正交矩阵 则AB也是正交矩阵 即A的n个列向量是单位正交向量组 性质4 设A是正交矩阵 则 也是正交矩阵 性质5 设A是正交矩阵 则 3 施密特正交化方法 为线性无关向量组 令 正交化过程 则 是正交向量组 单位化 六 特征值与特征向量 矩阵的对角化 内容
6、 矩阵的特征值与特征向量的定义 求法 性质 相似矩阵的概念 性质 矩阵对角化的条件和方法 定义1 使方程 设方阵 成立 数 和n元非零列向量 1 特征值 特征向量 求法 1 特征值的求法 2 特征向量的求法 2 特征值 相似矩阵 的性质 性质 全不为零 3 特征值 相似矩阵 的性质 性质2 例2 3 特征值 相似矩阵 例3设A是一个方阵 1 0 0 例4 相似矩阵 设矩阵A B相似 求参数a b c 解1 因为矩阵A B相似 所以 例4 相似矩阵 设矩阵A B相似 求参数a b c 2 因为矩阵A B相似 所以1也是A的特征值 所以 并且1是B的一个特征值 3 特征向量的性质 1 方阵A的不同
7、特征值所对应的特征向量必线性无关 2 实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相 3 正交向量组必是线性无关组 互正交 4 n阶方阵A可对角化的条件 方法 1 一个充分必要条件 n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2 两个充分条件 1 如果A有n个互不相同的特征值 则A必可对角化 2 如果A是实对称矩阵 则A必可用正交矩阵对角化 3 对角化方法 4 正交对角化 重点 重点 例1 1 求 设 相似于 1 由性质 2 2 解 例5 三阶实对称矩阵的特征值分别为 秩 例8 相应的特征向量分别为 已知 求的值及矩阵 解 秩 有三个不同 特征值 则可取 的特征向量为 则 七 二次型化标准型 1 基本定义 基本内容 1 二次型 二次齐次多项式 标准型的矩阵 对角阵 二次型的矩阵表示 2 二次型的矩阵 前提 实对称矩阵 注意元素特点 标准型 仅含有平方项的二次型 则二次型的矩阵 二次型及其标准型 2 最重要内容 注1 对线性变换X PY来说 当P可逆矩阵时 称之为 可逆变换 当P是正交矩阵时 称之为正交变换 用正交变换将二次型化为标准型 二次型 3 例2 求正交变换X QY 将二次型化为标准型 解二次型的矩阵为 3 对每个基础解系进行Schmidt正交化 再单位化 知识回顾KnowledgeReview 祝您成功
