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1、2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1若，是上的连续函数, 则a = 0 。2函数上的最大值为 。3= 。4设区域 .5设函数由方程所确定，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1 设函数可导, 并且时, 该函数在点处微分（ A ）（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。2 设函数在点x = a处可导, 则|f(x)| 在点x =
2、a处不可导的充要条件是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。3 曲线（ B ）(A) 没有渐近线; (B) 有一条水平渐近线和一条斜渐近线;(C) 有一条铅直渐近线; (D) 有二条水平渐近线。4 曲线与x轴所围成的平面图形的面积为（ D ）（A）； （B）；（C） +;（D）+。5 设D是xoy平面上以点(1, 1), (1, 1), (1, 1)为顶点的三角形区域, D1是D在第一象限的部分, 则（ B ）（A）； （B）； C）； （D）0。三、设函数具有二阶二阶导数，且。（本题6分）解：因为 ，所以 四、设函数由参数方程。（本题6分）解： 当 五、。设n为自然数, 计算积分（本
3、题7分）解： =所以 六、计算, 其中k为常数.（本题6分）解：当0 k 2, 必存在。（本题8分）证明： 令, 只需证明. (反证法): 反设不, 由于上连续, 所以上不变号, 不妨假定 上. 所以: , 所以 与 矛盾. 所以存在.十一、设是除x = 0点外处处连续的奇函数, x = 0为其第一类跳跃间断点, 证明是连续的偶函数, 但在点x = 0处不可导。（本题7分）解：1. 假设 因为是除x = 0点外处处连续的奇函数, x = 0为其第一类跳跃间断点, 所以 .(若A = 0, 则在x = 0连续)2. 令 . 显然 在x =0连续, 所以在连续 当 x 0时, x 0, , 当 x 0, . 所以是连续的奇函数. 所以是连续的偶函数.3. 所以是连续的偶函数, 但在点x = 0处不可导。十二、设常数, 证明: 当（本题8分）证明：假设 （x 0）只要证明i. 当, ii. 当令 , 所以, 由得, 为极小值, 也是最小值所以 .由 , 得到i. 当, ii. 当.
