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1、11 3 4相互独立事件同时发生的概率 第四课时 1 巩固相互独立事件以及独立重复试验的概念及其与互斥 对立事件联系 2 能应用相互独立事件的概率的乘法公式和n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率公式 教学目标 问题1什么叫做互斥事件 在一次试验中 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 问题2什么叫做对立事件 一次试验中 若两个互斥事件必有一个发生时 这样的两个互斥事件叫做对立事件 问题3什么叫做相互独立事件 事件A 或B 是否发生对事件B 或A 发生的概率没有影响 这样的两个事件叫做相互独立事件 问题4 事件A B发生表示的意义是什么 事件A B发生表示的意义是什么 事件A B发生 表示
2、事件A与事件B中至少有一个发生 不能想当然地认为是事件A与B同时发生 事实上当A与B互斥时 它们不可能同时发生 事件A B发生表示事件A与B同时发生 复习与引入 问题5怎样计算n个互斥事件A1 A2 An中有一个发生的概率 两个事件A B互斥 则P A B P A P B 事件A1 A2 An彼此互斥 则P A1 A2 An P A1 P A2 P An 问题6两个对立事件间的概率关系 问题7怎样计算n个相互独立事件A1 A2 An同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生 则P A B P A P B 相互独立事件A1 A2 An同时发生 则P A1 A2 An P A1 P A2 P An
3、复习与引入 问题8概率的和与积的互补公式 问题9n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率公式 如果在一次试验中某事件A发生的概率是P 那么在n次独立重复试验中 这个事件A恰好发生k次的概率计算公式 上面的公式恰为展开式中的第k 1项 又叫二项分布公式 可见排列组合 二项式定理及概率间存在着密切的联系 复习与引入 例1甲 乙两个人独立地破译一个密码 他们能译出密码的概率分别为1 3和1 4 求 两个人都译出密码的概率 两个人都译不出密码的概率 恰有1个人译出密码的概率 至多1个人译出密码的概率 至少1个人译出密码的概率 解 记 甲独立地译出密码 为事件A 乙独立地译出密码 为事件B A B为
4、相互独立事件 且P A 1 3 P B 1 4 两个人都译出密码的概率为 P A B P A P B 1 3 1 4 1 12 两个人都译不出密码的概率为 讲授新课 例1甲 乙两个人独立地破译一个密码 他们能译出密码的概率分别为1 3和1 4 求 恰有1个人译出密码的概率 至多1个人译出密码的概率 至少1个人译出密码的概率 解 恰有1个人译出密码可以分为两类 甲译出乙未译出 及甲未译出乙译出 且两个事件为互斥事件 所以恰有1个人译出密码的概率为 至多1个人译出密码 的对立事件为 有两个人译出密码 至多1个人译出密码的概率为1 P A B 1 P A P A 11 12 讲授新课 例1甲 乙两个
5、人独立地破译一个密码 他们能译出密码的概率分别为1 3和1 4 求 至少1个人译出密码的概率 解 至少有1个人译出密码 的对立事件为 两人未译出密码 所以至少有1个人译出密码的概率为 说明 如果需要提高能译出密码的可能性 就需要增加可能译出密码的人 现在可以提出这样的问题 若要达到译出密码的概率为99 至少需要像乙这样的人多少个 假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码 此问题相当于n次独立重复试验 要译出密码相当于至少有1个译出密码 其对立事件为所有人都未译出密码 故能译出密码的概率为 按要求故可以计算出n 16 即至少有像乙这样的人16名 才能使译出密码的概率达到99 讲授新课 例2如图
6、开关电路中 某段时间内 开关a b c开或关的概率均为1 2 且是相互独立的 求这段时间内灯亮的概率 解 分别记 开关a合上 为事件A 开关b合上 为事件B 开关c合上 为事件C 由已知 A B C是相互独立事件且概率都是1 2 开关a b合上或开关c合上时灯亮 所以这段时间内灯亮的概率为 讲授新课 P A B C 由物理学知识 要求灯亮 有两种可能性 是a b两开关都合上 即事件A B发生 是c开关合上 即事件C发生 也就是灯亮相当于事件A B C发生 说明 本题的解题过程中 灵活使用了概率中的一些符号 比如 A B发生表示事件A与事件B同时发生 A B发生表示事件A与事件B至少有一个发生
7、A B C发生表示A B与C至少有一个发生 A B C又分成了三个互斥事件的和又分成了三个互斥事件的和 讲授新课 讲授新课 符号语言的正确理解与使用 不仅是提高数学能力的需要 而且也使数学解题过程简便明了 一些数学结论表述更加方便 我们可以尝试理解并领会下列结论 例3掷三颗骰子 试求 没有一颗骰子出现1点或6点的概率 恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率 解 记 第一 二 三颗骰子出现1点或6点 分别记为事件A B C 由已知A B C是相互独立事件 且P A P B P C 1 3 没有1颗骰子出现1点或6点 也就是事件A B C全不发生 即事件发生所以所求概率为 讲授新课 例3掷三颗骰子 试
8、求 恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率 法一 恰好有1颗骰子出现1点或6点 即事件发生 故所求概率为 讲授新课 例3说明 再加上问题 至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少 逆向思考 其对立事件为 没有一颗骰子出现1点或6点 即问题 中的事件 所求概率为或 讲授新课 在日常生活中 经常遇到几个独立事件 要求出至少有一个发生的概率 如例1中的 至少有1个人译出密码的概率 再如 有两门高射炮 每一门炮击中飞机的概率都是0 6 求同时发射一发炮弹 击中飞机的概率是多少 把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B 击中飞机即A与B至少有1个发生 所求概率为 讲授新课 例4甲 乙两人进行五局三胜制的乒乓球比
9、赛 若甲每局获胜的概率是0 6 乙每局获胜的概率是0 4 求甲以3 0获胜的概率P1 求甲以3 1获胜的概率P2 求甲以3 2获胜的概率P3 求甲获胜的概率P4 求乙获胜的概率P5 解 记 在一局比赛中 甲获胜 为事件A 则P A 0 6 甲以3 0获胜 则甲需打完3局 且甲3局全胜 相当于进行3次独立重复试验中A发生3次 甲以3 1获胜 则甲需打完4局 且第4局取胜 前3局为2胜1负 甲以3 2获胜 则甲需打完5局 且第5局取胜 前4局为2胜2负 讲授新课 例4甲 乙两人进行五局三胜制的乒乓球比赛 若甲每局获胜的概率是0 6 乙每局获胜的概率是0 4 求甲获胜的概率P4 求乙获胜的概率P5
10、解 解法一 甲以3 0获胜 记为事件A1 甲以3 1获胜 记为事件A2 甲以3 2获胜 记为事件A3 按比赛规则甲获胜 记为事件A4 则A4 A1 A2 A3 又因为事件A1 A2 A3彼此互斥 故解法二 按比赛规则甲获胜的概率为 求乙获胜的概率P5 讲授新课 1 每次试验的成功率为P 0 P 1 重复进行10次试验 其中前七次未成功后三次成功的概率 2 在某一试验中 A出现的概率为P 则在n次试验中A出现k次的概率为 3 100件产品中有3件不合格 有放回地连续抽取10次 每次一件 10件产品中恰有2件不合格的概率为 4 某人投篮的命中率为2 3 他连续投5次 则至多投中4次的概率为 C 课
11、堂练习 求事件和的概率的方法是 首先判断事件和中的每个事件之间是否两两互斥 如果互斥 求出每个事件的概率 最后利用互斥事件有一个发生的概率公式即可 如果不互斥必须通过其他途径变形求解 求事件积的概率的方法是 首先判断积中的每个事件之间是否相互独立 如果它们是相互独立事件 求出每个事件的概率 最后利用相互独立事件同时发生的概率公式即可 特别是独立重复试验恰好发生k次的概率可用求解 如果不是相互独立事件 则将它们转化为相互独立事件的积与互斥事件的和的混合形式求解 课时小结 理解并领会下列结论 课时小结 1 有译电员若干名 每人独立破译密码的概率均为 若要达到译出密码的概率为99 至少要配备多少名译电员 2 棉籽的发芽率为0 9 棉籽能成为壮苗的概率为0 6 1 每穴播2粒 求此穴有苗的概率及此穴无壮苗的概率 2 每穴播3粒 求此穴缺苗的概率及此穴无壮苗的概率 3 电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0 2 求3个灯泡在使用1000小时后 最多有一只坏了的概率 课后作业 下课
