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1、11.2应用举例1常见的有关名词、术语名词、术语 意义仰角与俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角如图 1方位角 一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角如方位角 60是指北偏东 60坡角 坡面与水平面的夹角坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i tan (i 为坡比， 为坡角)，hl如图 22测量距离的基本类型及方案类别 两点间不可通或不可视 两点间可视但点不可达 两点都不可达图形方法 用余弦定理 用正弦定理在 ACD 中用正弦定理求 AC在 BCD 中用正弦定理求 BC在 ABC 中用余弦定理求 A
2、B结论ABa2 b2 2abcos CABasin Csin B C AC ；asin ADCsin ACD ADC BC ；asin BDCsin BCD BDC AB3.测量高度的基本类型及方案类别 点 B 与点 C、 D 共线 点 B 与 C、 D 不共线图形方法 先用余弦定理求出 AC 或 AD，再解直角三角形求出 AB 在 BCD 中先用正弦定理求出 BC，在ABC 中 A 可知，再用正弦定理求出 AB结论 AB a( 1tan ACB 1tan ADB) AB asin BDCtan ACBsin BCD BDC4解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知
3、与所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)正确选择正、余弦定理求解；2(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算的要求可用下图描述：一、测量距离问题方法链接：测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解当涉及的三角形较多时，应寻求最优解法例 1如图所示，某炮兵阵地位于 A 点，两观察所分别位于 C， D 两点已知 ACD 为正三角形，且 DC km，当目标出现在 B 时，测得 CDB45 ， BCD75，求炮兵阵地与3目标的距离是多少？(结果保留根号)分析要求 AB 的长，可
4、转化为解 ABC 或 ABD，不管在哪个三角形中， AB 边所对的角 ACB 或 ADB 都是确定的， AC AD CD ，所需要的是 BC 边(或 BD 边)，所以需先求3BC 边(或 BD 边)，可在 BCD 中，结合余弦定理求解解在 BCD 中， CDB45， BCD75， CBD180 BCD CDB60.由正弦定理，得 BD ( )CDsin 75sin 60 12 6 2在 ABD 中， ADB4560105，由余弦定理，得 AB2 AD2 BD22 ADBDcos 1053 ( )22 ( ) ( )14 6 2 3 12 6 2 14 6 252 . AB (km)3 5 23
5、炮兵阵地与目标的距离是 km.5 23二、测量高度问题方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题，解决这类问题的关键是勾画出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度，需要知道哪些边与角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形2与测量高度有关的问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算，注意直角三角形中边角关系的运用3解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解，从而无法画出有关图形例 2(1)如图所示，3在山底测得山顶仰角 CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000
6、 米至 S 点，又测得山顶仰角 DSB75，求山高 BC；(2)某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高解(1) SAB CAB CAS453015， SBA ABC SBC451530， ASB1803015135.在 ABS 中， AB 1 000 (米)ASsin 135sin 301 0002212 2 BC ABsin 451 000 1 000(米)222答山高 BC 为 1 000 米(2)依题意画出图，某人在 C 处， AB 为塔高，沿 CD 前进， CD40 米，此时 DBF45，从 C 到 D 测塔的仰
7、角，只有 B 到 CD 最短时，仰角才最大，这是因为 tan AEB ， AB 为ABBE定值，要求出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，须先求 BD(或 BC)在 BDC 中， CD40(米)， BCD30， DBC135.由正弦定理得 ，CDsin DBC BDsin DCB BD 20 (米)40sin 30sin 135 2在 Rt BED 中， BDE1801353015. BE DBsin 1520 10( 1) (米)26 24 3在 Rt ABE 中， AEB30， AB BEtan 30 (3 )(米)103 3故所求的塔高为 (3 )米103 3三、测量角度问题方法链
8、接：对于有些与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形，求出相关角度例 3一缉私艇发现在北偏东 45方向且距离 12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜缉私艇的速度为 14 n mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追，求追及所需的时间和 角的正弦值4解设 A， C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在 B 处追上，则有AB14 x， BC10 x， ACB120.(14 x)212 2(10 x)2240 xcos 120， x2， A
9、B28， BC20，sin .20sin 12028 5314所需时间为 2 小时，sin .5314四、三角形中的求值问题方法链接：涉及三角形中的计算问题时，一些基本关系式经常用到，这些关系式是：(1)A B C， A( B C)；(2) ， ；A B2 C2 2 B C2 2 A2(3)sin Csin ( A B)，cos( A B)cos C；(4)tan(A B)tan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；(5)sin cos ，cos sin ，C2 A B2 C2 A B2tan tan 1；A B2 C2(6)ABCsin Asin Bsin C.
10、例 4在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，且满足(2 a c)cos B bcos C.(1)求角 B 的大小；(2)若 b ， a c4，求 ABC 的面积7解(1)在 ABC 中，由正弦定理得a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C，代入(2 a c)cos B bcos C，整理得 2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B，即 2sin Acos Bsin( B C)sin A，在三角形中，sin A0，2cos B1， B 是三角形的内角， B60.(2)在 ABC 中，由余弦定理得b2 a2 c22 acco
11、s B( a c)22 ac2 accos B，将 b ， a c4，代入整理，得 ac3.7故 S ABC acsin B sin 60 .12 32 334五、证明平面几何问题方法链接：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具，在处理平面几何问题中有着广泛的应用一些三角形中重要线段的求解和著名定理的证明都离不开正、余弦定理的综合运用例 5已知凸四边形的边长分别为 a、 b、 c、 d，对角线相交成 45角，若 S 为四边形的面积，求证： S (a2 b2 c2 d2)14证明设凸四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，设 AO、 CO、 BO、 DO 分别为m、 n、 p、 q，则由面积公
12、式得：5S (mp pn nq qm)sin 4512由余弦定理得a2 m2 p22 mpcos 45b2 n2 p22 npcos 45c2 n2 q22 nqcos 45d2 q2 m22 qmcos 45由得：a2 b2 c2 d22( mp pn nq qm)cos 45( mp pn nq qm)sin 452 S. a2 b2 c2 d24 S，即 S (a2 b2 c2 d2)141忽略角的隐含范围而致错例 1在 ABC 中， B3 A，求 的取值范围ba错解由正弦定理得 ba sin Bsin A sin 3Asin A sin A 2Asin A sin Acos 2A co
13、s Asin 2Asin Acos 2 A2cos 2A4cos 2A1.0cos 2A1，14cos 2A13， 0，0sin B A B.从而确定 cos B 而不是45cos B ，否则会错选 C.事实上，在 ABC 中，我们可以由正弦定理可证得 sin Asin 45B 的充要条件是 AB.正解cos A ，0sin B，从而 ab，故 A B，cos B ，45cos Ccos( A B)sin Asin Bcos Acos B ，1665选 A.3忽略审题环节，画图不准而致错例 3在湖面上高 h m 处，测得云 C 的仰角为 ，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为 ，试证：云高为
14、 h m.sin sin 点拨本题常因审题不准，题意不清画不出合乎题意图形而放弃或因画错图形而致错7正解分析因湖面相当于一平面镜，故云 C 与它在湖中的影 D 关于湖面对称设云高为 CM x，则由 ADE 可建立含 x 的方程，解出 x 即可解如图所示，设在湖面上高为 h m 处的 A，测得 C 的仰角为 ，而 C 在湖中的像 D的俯角为 ， CD 与湖面交于 M，过 A 的水平线交 CD 于 E，设云高 CM x，则CE x h， DE x h， AE( x h)cot .又 AE( x h)cot ，所以( x h)cot ( x h)cot .解得 x h h (m)tan tan tan tan sin sin 例在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O(如图 1 所示)的东偏南 (cos )方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 45方向210移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60
